Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n+2)!}{3^{n}(n!)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n+2)!}{3^{n}(n!)^{2}}
O conteúdo principal aqui é teste da razão (ou d’Alembert), indicado quando aparecem fatoriais. Vamos definir a_{n} e calcular o limite da razão \lim_{n\to\infty}a_{n+1}/a_{n}.

Passo 2

Definimos
a_{n} = \frac{(2n+2)!}{3^{n}(n!)^{2}}.
Então
a_{n+1} = \frac{(2(n+1)+2)!}{3^{\,n+1}((n+1)!)^{2}} = \frac{(2n+4)!}{3^{\,n+1}\,(n+1)!^{2}}.

Passo 3

Escrevemos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\displaystyle\frac{(2n+4)!}{3^{\,n+1}(n+1)!^{2}}} {\displaystyle\frac{(2n+2)!}{3^{n}(n!)^{2}}} = \frac{(2n+4)!}{(2n+2)!}\,\frac{3^{n}}{3^{\,n+1}}\,\frac{(n!)^{2}}{(n+1)!^{2}}.
Agora simplificamos cada fator:
  1. \displaystyle\frac{(2n+4)!}{(2n+2)!}=(2n+4)(2n+3).
  2. \displaystyle\frac{3^{n}}{3^{\,n+1}}=\frac{1}{3}.
  3. \displaystyle\frac{(n!)^{2}}{(n+1)!^{2}}=\frac{1}{(n+1)^{2}}.
Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(2n+4)(2n+3)}{3\,(n+1)^{2}}.

Passo 4

Analisamos o comportamento para n\to\infty:
\frac{(2n+4)(2n+3)}{3\,(n+1)^{2}} = \frac{4n^2 + \text{termos de ordem }n}{3(n^2 + 2n +1)} \;\longrightarrow\;\frac{4}{3}.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{4}{3}>1, pelo teste da razão a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão.

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