Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
\sum_{n=1} \frac{(n!)^{3}}{(2 n)!}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n!)^{3}}{(2n)!}
O conteúdo aqui é teste da razão (d’Alembert), pois a expressão envolve fatoriais e cresce rápido.

Passo 2

Defina
a_{n}=\frac{(n!)^{3}}{(2n)!}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\bigl((n+1)!\bigr)^{3}/\bigl(2(n+1)\bigr)!}{(n!)^{3}/(2n)!} =\frac{(n+1)^{3}\,(n!)^{3}}{(2n+2)(2n+1)\,(2n)!}\,\frac{(2n)!}{(n!)^{3}}.

Passo 3

Simplificando,
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{(n+1)^{3}}{(2n+2)(2n+1)} =\frac{(n+1)^{2}}{2\,(2n+1)} =\frac{(n+1)^{2}}{4n+2}.
Quando n\to\infty, o numerador cresce como n^{2} e o denominador como 4n, logo
\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\sim\frac{n^{2}}{4n}=\frac{n}{4}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\infty.

Passo 4

Como
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\infty>1,
o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão.

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