Decida se as séries abaixo convergem ou divergem indicando o critério usado:
\sum \frac{3}{n^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{2}+1}
converge ou diverge, indicando o critério usado. O conteúdo é séries numéricas e vamos aplicar o critério de comparação com uma p-série.

Passo 2

Observe que, para todo n\ge1,
n^{2}+1 \;>\; n^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{n^{2}+1} \;<\;\frac{1}{n^{2}} \quad\Longrightarrow\quad \frac{3}{n^{2}+1} \;<\;\frac{3}{n^{2}}.
Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{2}}
é uma p-série com p=2>1, logo converge.

Passo 3

Pelo critério da comparação direta, como 0\le\frac{3}{n^{2}+1}\le\frac{3}{n^{2}} e \sum3/n^{2} converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{2}+1}
também converge.

Resposta

A série converge por comparação direta com a p-série de parâmetro p=2.

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