Verifique se as séries abaixo convergem:
e) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+1}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\,\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+1}.
O conteúdo envolve testar convergência de séries alternantes, mas antes de usar o teste de Leibniz precisamos aplicar o teste do termo geral: se a série converge, seus termos devem tender a zero.

Passo 2

Identifiquemos o termo geral
u_n = (-1)^{n-1}\,\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+1}.
Para qualquer série (alternante ou não), um teste preliminar é verificar
\lim_{n\to\infty}u_n.
Se esse limite não for zero, a série necessariamente diverge.

Passo 3

Como (-1)^{n-1} só muda o sinal, o módulo do termo é
a_n = \frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}+1}.
Para calcular \lim_{n\to\infty}a_n, dividimos numerador e denominador por \sqrt{n}:
a_n = \frac{\sqrt{1 + 1/n}}{1 + 1/\sqrt{n}} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\; \frac{1}{1} = 1.

Passo 4

Concluímos que
\lim_{n\to\infty}u_n = \lim_{n\to\infty}\Bigl((-1)^{n-1}a_n\Bigr)
não é zero (os termos oscilam em torno de \pm1). Portanto falha o teste do termo geral, e a série não pode convergir.

Resposta

A série diverge.

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