Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
\sum_{n=1} \frac{n!}{n^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^{n}}
O conteúdo principal é teste de convergência de séries numéricas. Vamos usar o Teste da Razão, que é muito eficiente quando aparecem fatoriais e potências.

Passo 2

Chame de a_n o termo geral da série:
a_n = \frac{n!}{n^n}.
No Teste da Razão, calculamos o limite
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Calcule a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\frac{n!}{n^n}} = \frac{(n+1)\,n!}{(n+1)^{\,n+1}}\cdot\frac{n^n}{n!} = \frac{n^n}{(n+1)^{\,n}} = \Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{\!n}.

Passo 4

Agora tomamos o limite quando n\to\infty:
L = \lim_{n\to\infty}\Bigl(\frac{n}{n+1}\Bigr)^{\!n} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1-\frac{1}{n+1}\Bigr)^{\!n} = e^{-1}.
Como e^{-1}<1, o Teste da Razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n!}{n^n} converge, por comparação pelo Teste da Razão (o limite da razão deu e^{-1}<1).

Exercícios relacionados