Construa séries telescópicas de modo que sua correspondente sequência de somas parciais(ou reduzidas) S_{n}, seja dada pelas expressões abaixo:
S_{n}=\frac{2 n}{3 n+1}

Passo 1

O enunciado pede que a gente construa uma série telescópica cuja soma parcial
S_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}
seja
S_{n}=\frac{2\,n}{3\,n+1}.
O que vamos usar: a definição de soma parcial S_{n}, a relação
a_{n}=S_{n}-S_{n-1},
além de simplificação de frações e decomposição em frações parciais para obter o “telescópio”.

Passo 2

Calcular o termo geral a_{n}=S_{n}-S_{n-1}. Como S_{n}=\tfrac{2n}{3n+1} e assumindo S_{0}=0, temos para n\ge1:
a_{n} = \frac{2\,n}{3\,n+1} - \frac{2\,(n-1)}{3\,(n-1)+1} = \frac{2\,n}{3\,n+1} - \frac{2\,(n-1)}{3\,n-2}.

Passo 3

Simplificar a diferença:
a_{n} = \frac{2\,n\,(3n-2)\;-\;2\,(n-1)\,(3n+1)} {(3n+1)(3n-2)}.
No numerador:
2n(3n-2)-2(n-1)(3n+1) =6n^2-4n-\bigl(6n^2-4n-2\bigr) =2.
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a_{n} = \frac{2}{(3n-2)(3n+1)}.

Passo 4

Fazer frações parciais em
\frac{2}{(3n-2)(3n+1)} = \frac{A}{3n-2} + \frac{B}{3n+1}.
Temos
A(3n+1)+B(3n-2)=2 \;\Longrightarrow\; \begin{cases} 3(A+B)=0,\\\ A-2B=2, \end{cases}
resultando em A=\tfrac{2}{3} e B=-\tfrac{2}{3}. Assim
a_{n} =\frac{2}{3}\Bigl(\frac{1}{3n-2}-\frac{1}{3n+1}\Bigr),
que é a forma telescópica.

Passo 5

Verificar o telescópio na soma parcial até n:
\sum_{k=1}^{n}a_{k} = \frac{2}{3}\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\Bigr).
Tudo cancela em cadeia, sobrando
\frac{2}{3}\Bigl(\frac{1}{1}-\frac{1}{3n+1}\Bigr) = \frac{2}{3}\,\frac{3n+1-1}{3n+1} = \frac{2\,n}{3\,n+1},
como desejado.

Resposta

A série telescópica cuja soma parcial é \displaystyle S_{n}=\tfrac{2n}{3n+1} é
\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \quad\text{com}\quad a_{k} =\frac{2}{3}\Bigl(\frac{1}{3k-2}-\frac{1}{3k+1}\Bigr).

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