Use o critério da razão para determinar todos os valores de x para os quais as séries abaixo sejam convergentes e os valores para os quais elas são divergentes.
\sum x^{n} \operatorname{sen} \frac{1}{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}x^{n}\,\sin\!\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)
usando o critério da razão. Para isso, definimos
a_{n}=x^{n}\,\sin\!\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr)
e vamos calcular \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.

Passo 2

Escrevendo os termos a seguir, temos
a_{n+1}=x^{n+1}\,\sin\!\Bigl(\frac{1}{n+1}\Bigr) \quad\text{e}\quad a_{n}=x^{n}\,\sin\!\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr).
Logo, a razão dos módulos é
\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\bigl|x\bigr|\, \frac{\sin\!\bigl(\frac{1}{n+1}\bigr)}{\sin\!\bigl(\frac{1}{n}\bigr)}.

Passo 3

Para n\to\infty usamos a expansão \sin(t)\sim t quando t\to0. Assim,
\frac{\sin\!\bigl(\frac{1}{n+1}\bigr)}{\sin\!\bigl(\frac{1}{n}\bigr)} \sim\frac{\tfrac{1}{n+1}}{\tfrac{1}{n}} =\frac{n}{n+1}\;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;1.
Portanto
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| =\bigl|x\bigr|\cdot1 =\bigl|x\bigr|.

Passo 4

Pelo critério da razão:
  • Se L<1, isto é \lvert x\rvert<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, isto é \lvert x\rvert>1, a série diverge.
  • Se L=1, isto é \lvert x\rvert=1, o critério não decide, e precisamos analisar diretamente.

Passo 5

Analisando \lvert x\rvert=1:
  1. Para x=1, a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\sin\!\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr).
Como \sin\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\sim\tfrac{1}{n} e \sum 1/n diverge, segue que aqui diverge.
  1. Para x=-1, a série é
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\,\sin\!\Bigl(\frac{1}{n}\Bigr),
cujos termos são alternados, positivos em módulo, decrescentes para zero. Pelo critério de Leibniz, essa série converge (condicionalmente).

Resposta

A série \sum x^{n}\sin\!\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)
converge para \lvert x\rvert<1 (convergência absoluta) e também em x=-1 (convergência condicional),
e diverge para \lvert x\rvert>1 e em x=1.

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