Analise se as séries abaixo convergem ou não indicando o teste usado:
a) sumn=1^infty arctg nn^1.1
b) sumn=1^infty n^22^n
c) sumn=1^infty n!2^n
d) sumn=1 n!n^n
e) sumn=1 (n!)^3(2 n)!
f) sumn=1^infty (2 n+2)!3^n(n!)^2
g) sumn=1^infty(n^1 / n-1)^n
h) sumn=1^infty raizn(2 n-1n+13)^n
i) sumn=1^infty e^2 n(nn+1)^n^2
j) sum ln nn^3
k) sumn=1^infty (ln n)^2n^3
l) sumn=1^infty (ln n)^2n^1 / 2
m) sumn=1^infty (n+1)(n+2)n!
n) sumn=1^infty (n+3)!3!n!3^n
o) sumn=1^infty (2 n)^n(n+1)^n
p) sumn=1^infty 1(n+1)^n

Passo 1

O enunciado pede para a gente analisar a convergência ou divergência de várias séries de uma forma bem prática, usando testes como p-série, comparação, razão, raiz, integral e até argumento com crescimento fatorial (Stirling).

Passo 2

Para a) temos a_n = . Como , fica arctg nn^1.1. Pelo teste de comparação limite com a p-série de expoente 1.1>1 a série converge.

Passo 3

Para b) an=n^22^n. No teste da razão aparece limntoinftyan+1an=12<1, logo converge.

Passo 4

Para c) an=n!2^n. No teste da razão temos limntoinftyan+1an=limn+12=infty>1, então diverge.

Passo 5

Para d) an=n!n^n. Aplicando o teste da razão surge liman+1an=lim( nn+1)^n=e^-1<1, então converge.

Passo 6

Para e) an=(n!)^3(2n)!. No teste da razão dá liman+1an=lim(n+1)^22(2n+1)=infty>1, diverge.

Passo 7

Para f) an=(2n+2)!3^n(n!)^2. No teste da razão vem liman+1an=43>1, então diverge.

Passo 8

Para g) an=(n^1/n-1)^n. No teste da raiz a gente vê an^1/n=n^1/n-1to0<1, converge rapidinho.

Passo 9

Para h) an=raiz nl(2n-1n+13r)^n. Pelo teste da raiz an^1/nto2>1, diverge.

Passo 10

Para i) an=e^2n( nn+1)^n^2. No teste da raiz an^1/n=e^2( nn+1)^nto e>1, diverge.

Passo 11

Para j) an=ln nn^3. Como p-série com p=3>1 e ln n cresce bem devagar, por comparação ou integral a série converge.

Passo 12

Para k) an=(ln n)^2n^3. Mesmo raciocínio de p-série com p=3>1 e log ao quadrado no numerador não atrapalha, converge.

Passo 13

Para l) an=(ln n)^2n^1/2. Aqui p=1/2<1 e o (ln n)^2 não segura, então diverge.

Passo 14

Para m) an=(n+1)(n+2)n!. O fatorial cresce mais rápido que polinômio, e por comparação com algo tipo C/2^n dá converge.

Passo 15

Para n) an=(n+3)!3!,n!,3^n = (n+1)(n+2)(n+3)6,3^nsimn^33^n. Pelo teste da raiz ou comparação com geométrica, converge.

Passo 16

Para o) an=l(2nn+1r)^n. No teste da raiz an^1/nto2>1, então diverge.

Passo 17

Para p) an=1(n+1)^n. No teste da raiz an^1/n=1n+1to0<1, converge.

Resposta

a) converge; b) converge; c) diverge; d) converge; e) diverge; f) diverge; g) converge; h) diverge; i) diverge; j) converge; k) converge; l) diverge; m) converge; n) converge; o) diverge; p) converge.

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