Mostre que se
e
convergem então
é absolutamente convergente. Sugestão:
.
Passo 1
Temos as séries
e
convergentes. O objetivo é mostrar que
é absolutamente convergente, isto é, que
converge. Para isso, vamos usar a sugestão de que
nos fornece uma desigualdade que relaciona
com
e
.
Passo 2
Da desigualdade
e
, expandindo obtemos
e
Somando e subtraindo essas duas desigualdades, concluímos:
Logo,
Passo 3
Agora basta somar em
:
Como as séries
e
convergem, o lado direito é finito. Portanto
converge, e assim
é absolutamente convergente.
Resposta
Pela desigualdade
e a convergência de
e
, segue que
converge, logo
é absolutamente convergente.