Mostre que se sum an^2 e sum bn^2 convergem então sum an bn é absolutamente convergente. Sugestão: (a pm b)^2 >= 0.

Passo 1

Temos as séries sum an^2 e sum bn^2 convergentes. O objetivo é mostrar que sum an bn é absolutamente convergente, isto é, que sum |an bn| converge. Para isso, vamos usar a sugestão de que (apm b)^2>=0 nos fornece uma desigualdade que relaciona an bn com an^2 e bn^2.

Passo 2

Da desigualdade (an + bn)^2 >= 0 e (an - bn)^2 >= 0, expandindo obtemos
an^2 + bn^2 + 2an bn >= 0
e
an^2 + bn^2 - 2an bn >= 0
Somando e subtraindo essas duas desigualdades, concluímos:
-an^2 + bn^22 <= an bn <= an^2 + bn^22
Logo,
|an bn| <= an^2 + bn^22

Passo 3

Agora basta somar em n:
sumn=1^infty |an bn| <= 12 sumn=1^infty (an^2 + bn^2) = 12l(sumn=1^infty an^2 + sumn=1^infty bn^2r)
Como as séries sum an^2 e sum bn^2 convergem, o lado direito é finito. Portanto sum |an bn| converge, e assim sum an bn é absolutamente convergente.

Resposta

Pela desigualdade 2|an bn|<= an^2+bn^2 e a convergência de sum an^2 e sum bn^2, segue que sum|an bn| converge, logo sum an bn é absolutamente convergente.

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