Construa séries telescópicas de modo que sua correspondente sequência de somas parciais(ou reduzidas)
, seja dada pelas expressões abaixo:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede para, em cada caso (a–d), montar uma série telescópica cuja sequência de somas parciais seja dada por uma expressão fechada S_n.
Passo 2
A ideia central é que, se S_n é a soma dos primeiros n termos a_k, então o termo geral da série satisfaz
com
Passo 3
Para (a), temos
Logo
$$a_k = \frac{4k}{k+1}-\frac{4(k-1)}{k}
=4\Bigl(\frac{k}{k+1}-\frac{k-1}{k}\Bigr)
=\frac{4}{k(k+1)}
=4\Bigl(\frac1k-\frac1{k+1}\Bigr).
=\frac{4}{k(k+1)}
=4\Bigl(\frac1k-\frac1{k+1}\Bigr).
$$
Passo 4
Para (b), note que
Então
Logo
Passo 5
Para ©, escrevemos
$$\frac{n^2}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}=n-1+\frac1{n+1}.
\quad S_{k-1}=k-2+\frac1{k}.
=1-\Bigl(\frac1{k}-\frac1{k+1}\Bigr).
$$
Passo 6
Para (d), basta diferenciar
Então
$$a_k=S_k-S_{k-1}=2{k+1}-1-(2k-1)=2^k.
$$
Resposta
As séries telescópicas correspondentes são:
(a) ,
(b) ,
© ,
(d) .
(a)
(b)
©
(d)