Construa séries telescópicas de modo que sua correspondente sequência de somas parciais(ou reduzidas) Sn, seja dada pelas expressões abaixo:
a) Sn=4 nn+1
b) Sn=2 n3 n+1
c) Sn=n^2n+1
d) Sn=2^n+1-1

Passo 1

O enunciado pede para, em cada caso (a–d), montar uma série telescópica cuja sequência de somas parciais seja dada por uma expressão fechada S_n.

Passo 2

A ideia central é que, se S_n é a soma dos primeiros n termos a_k, então o termo geral da série satisfaz
ak = Sk - Sk-1,
com S0=0.

Passo 3

Para (a), temos
Sk=4kk+1, Sk-1=4(k-1)k
Logo
$$a_k = \frac{4k}{k+1}-\frac{4(k-1)}{k}
=4\Bigl(\frac{k}{k+1}-\frac{k-1}{k}\Bigr)
=\frac{4}{k(k+1)}
=4\Bigl(\frac1k-\frac1{k+1}\Bigr).
$$

Passo 4

Para (b), note que
2n3n+1=233n3n+1 =23l(1-13n+1r) =23-2/33n+1
Então
Sk=23-2/33k+1, Sk-1=23-2/33k-2
Logo
ak = Sk-Sk-1 =23l(13k-2-13k+1r)

Passo 5

Para ©, escrevemos
$$\frac{n^2}{n+1}=n-\frac{n}{n+1}=n-1+\frac1{n+1}.
n^2n+1=n-nn+1=n-1+1n+1 S_k=k-1+\frac1{k+1},
\quad S_{k-1}=k-2+\frac1{k}.
Sk=k-1+1k+1, Sk-1=k-2+1k a_k=S_k-S_{k-1}=1+\frac1{k+1}-\frac1{k}
=1-\Bigl(\frac1{k}-\frac1{k+1}\Bigr).
$$

Passo 6

Para (d), basta diferenciar
Sk=2^k+1-1, Sk-1=2^k-1
Então
$$a_k=S_k-S_{k-1}=2{k+1}-1-(2k-1)=2^k.
$$

Resposta

As séries telescópicas correspondentes são:
(a) sumk=1^n4l(tfrac1k-tfrac1k+1r),
(b) sumk=1^ntfrac23l(tfrac13k-2-tfrac13k+1r),
© sumk=1^nl(1-tfrac1k+tfrac1k+1r),
(d) sumk=1^n2^k.

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