Analise se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a seguir, justificando.
dados
e
e o menor ângulo entre os vetores
e
, é possível determinar
e
dados
Passo 1
O enunciado pertence ao conteúdo de produto escalar e produto vetorial em ℝ³. Ele pergunta se, conhecendo apenas as normas
,
e o menor ângulo
entre os vetores
e
, conseguimos determinar os valores de
e de
.
Passo 2
Para o produto escalar, usamos a definição
Como conhecemos
,
e
, esse valor fica completamente fixado.
Passo 3
Para o produto vetorial, a magnitude é dada por
Portanto, a norma de
também fica determinada pelos dados. Porém, o produto vetorial é um vetor perpendicular ao plano de
e
, e sua direção (sentido) depende da orientação espacial ou do sistema de coordenadas e da ordem de
e
(regra da mão direita). Sem mais informação sobre o referencial ou sobre o sentido “para cima” ou “para baixo”, não podemos fixar unicamente o vetor
.
Passo 4
Resumindo:
– Com ,
e
podemos obter exatamente
.
– Com esses mesmos dados obtemos apenas a magnitude de , mas não seu vetor completo (direção/sentido ficam ambíguos).
– Com
– Com esses mesmos dados obtemos apenas a magnitude de
Resposta
Produto escalar
: Verdadeira.
Produto vetorial : Falsa.
Produto vetorial