Analise se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações a seguir, justificando.
dados \|A\| e \|B\| e o menor ângulo entre os vetores A e B, é possível determinar A \cdot B e A \times B ;

Passo 1

O enunciado pertence ao conteúdo de produto escalar e produto vetorial em ℝ³. Ele pergunta se, conhecendo apenas as normas \|A\|, \|B\| e o menor ângulo \theta entre os vetores A e B, conseguimos determinar os valores de A \cdot B e de A \times B.

Passo 2

Para o produto escalar, usamos a definição
A \cdot B = \|A\|\,\|B\|\cos(\theta).
Como conhecemos \|A\|, \|B\| e \theta, esse valor fica completamente fixado.

Passo 3

Para o produto vetorial, a magnitude é dada por
\|A \times B\| = \|A\|\,\|B\|\sin(\theta).
Portanto, a norma de A\times B também fica determinada pelos dados. Porém, o produto vetorial é um vetor perpendicular ao plano de A e B, e sua direção (sentido) depende da orientação espacial ou do sistema de coordenadas e da ordem de A e B (regra da mão direita). Sem mais informação sobre o referencial ou sobre o sentido “para cima” ou “para baixo”, não podemos fixar unicamente o vetor A\times B.

Passo 4

Resumindo:
– Com \|A\|, \|B\| e \theta podemos obter exatamente A\cdot B.
– Com esses mesmos dados obtemos apenas a magnitude de A\times B, mas não seu vetor completo (direção/sentido ficam ambíguos).

Resposta

Produto escalar A\cdot B: Verdadeira.
Produto vetorial A\times B: Falsa.

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