Um analista de sistemas está avaliando o desempenho de um novo programa de análise numérica. Forneceu como entrada do programa 14 operações similares e obteve os seguintes tempos de processamento (em milissegundos):
12,0
13,5
16,0
15,7
15,8
16,5
15,0
13,1
15,2
18,1
18,5
12,3
17,5
17,0
a) Calcule a média e o desvio padrão da amostra do tempo de processamento.
b) Construir um intervalo de confiança par o tempo médio de processamento, com nível de confiança de confiança de 95%.
| 12,0 | 13,5 | 16,0 | 15,7 | 15,8 | 16,5 | 15,0 | 13,1 |
| 15,2 | 18,1 | 18,5 | 12,3 | 17,5 | 17,0 |
b) Construir um intervalo de confiança par o tempo médio de processamento, com nível de confiança de confiança de 95%.
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
- Foram fornecidos
tempos de processamento (em milissegundos):
. - Perguntas:
a) Calcular a média amostral e o desvio padrão amostral dos tempos.
b) Construir um intervalo de confiança para a média do tempo com nível de confiança de.
Passo 2
Calcular a média amostral
.
-
Fórmula da média amostral:onde
são as observações e é o tamanho da amostra. -
Primeiro somar os dados (peguei estes números do enunciado):
-
LogoArredondando para três casas decimais:
ms.
Explicação didática rápida: a média amostral é apenas a soma dos tempos dividida pelo número de medidas; dá uma medida central de quanto tempo, em média, o programa demorou.
Passo 3
Calcular o desvio padrão amostral
.
-
Porque usar o desvio padrão amostral? Aqui a variância populacional é desconhecida, então usamos o estimador amostral com divisor
(correção de Bessel) para uma estimativa não viciada da variância populacional. -
Fórmula (forma prática usando somas dos quadrados):onde
é a soma dos quadrados das observações. -
Calculei os quadrados e somei (peguei cada
do enunciado): -
Já calculamos
implicitamente; então -
Assim
-
Dividindo por
: -
Tomando raiz:Arredondando para três casas decimais:
ms.
Breve interpretação pedagógica: o desvio padrão
mede a dispersão típica dos tempos em torno da média; aqui tipicamente os tempos variam cerca de
ms da média.
Passo 4
Preparar o intervalo de confiança de
para a média.
-
Como
é pequeno ( ) e a variância populacional é desconhecida, usa-se a distribuição de Student. A fórmula do intervalo é ondeé o quantil da -Student com graus de liberdade e nível de significância . Para de confiança, e . -
Aqui
. O valor crítico (tabela ou calculadora) é aproximadamente (valor padrão de tabela de-Student).
Passo 5
Calcular o erro padrão, a margem de erro e os limites do intervalo.
- Erro padrão da média:
- Margem de erro:
- Limites do intervalo:
Arredondando para três casas decimais: intervalo de confiança de
é aproximadamente
.
Interpretação final: com
de confiança, o tempo médio de processamento do programa está entre cerca de
ms e
ms.
Resposta
a)
b) Intervalo de confiança de
: