Um analista de sistemas está avaliando o desempenho de um novo programa de análise numérica. Forneceu como entrada do programa 14 operações similares e obteve os seguintes tempos de processamento (em milissegundos):
12,0 13,5 16,0 15,7 15,8 16,5 15,0 13,1
15,2 18,1 18,5 12,3 17,5 17,0
a) Calcule a média e o desvio padrão da amostra do tempo de processamento.
b) Construir um intervalo de confiança par o tempo médio de processamento, com nível de confiança de confiança de 95%.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • Foram fornecidos n=14 tempos de processamento (em milissegundos):
    12,0,\;13,5,\;16,0,\;15,7,\;15,8,\;16,5,\;15,0,\;13,1,\;15,2,\;18,1,\;18,5,\;12,3,\;17,5,\;17,0.
  • Perguntas:
    a) Calcular a média amostral e o desvio padrão amostral dos tempos.
    b) Construir um intervalo de confiança para a média do tempo com nível de confiança de 95\%.

Passo 2

Calcular a média amostral \bar{x}.
  • Fórmula da média amostral:
    \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i,
    onde x_i são as observações e n é o tamanho da amostra.
  • Primeiro somar os dados (peguei estes números do enunciado):
    \sum_{i=1}^{14} x_i = 216,2.
  • Logo
    \bar{x}=\frac{216,2}{14}=15,442857\ldots
    Arredondando para três casas decimais: \bar{x}\approx15,443 ms.
Explicação didática rápida: a média amostral é apenas a soma dos tempos dividida pelo número de medidas; dá uma medida central de quanto tempo, em média, o programa demorou.

Passo 3

Calcular o desvio padrão amostral s.
  • Porque usar o desvio padrão amostral? Aqui a variância populacional é desconhecida, então usamos o estimador amostral com divisor n-1 (correção de Bessel) para uma estimativa não viciada da variância populacional.
  • Fórmula (forma prática usando somas dos quadrados):
    s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - n\bar{x}^2\right), \qquad s=\sqrt{s^2},
    onde \sum x_i^2 é a soma dos quadrados das observações.
  • Calculei os quadrados e somei (peguei cada x_i do enunciado):
    \sum_{i=1}^{14} x_i^2 = 3394,68.
  • Já calculamos \bar{x}^2 implicitamente; então
    n\bar{x}^2 = 14\times(15,442857\ldots)^2 \approx 3338,737142857.
  • Assim
    \sum x_i^2 - n\bar{x}^2 \approx 3394,68 - 3338,737142857 \approx 55,9428571428.
  • Dividindo por n-1=13:
    s^2 \approx \frac{55,9428571428}{13} \approx 4,30329747.
  • Tomando raiz:
    s\approx\sqrt{4,30329747}\approx2,07444\\ \text{ms}.
    Arredondando para três casas decimais: s\approx2,074 ms.
Breve interpretação pedagógica: o desvio padrão s mede a dispersão típica dos tempos em torno da média; aqui tipicamente os tempos variam cerca de 2,07 ms da média.

Passo 4

Preparar o intervalo de confiança de 95\% para a média.
  • Como n é pequeno ( n=14) e a variância populacional é desconhecida, usa-se a distribuição t de Student. A fórmula do intervalo é
    \bar{x}\pm t_{\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
    onde t_{\alpha/2,\;n-1} é o quantil da t-Student com n-1 graus de liberdade e nível de significância \alpha. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.
  • Aqui n-1=13. O valor crítico (tabela ou calculadora) é aproximadamente
    t_{0,025,\;13}\approx2,160.
    (valor padrão de tabela de t-Student).

Passo 5

Calcular o erro padrão, a margem de erro e os limites do intervalo.
  • Erro padrão da média: \text{EP}=\frac{s}{\sqrt{n}}\approx\frac{2,07444}{\sqrt{14}}\approx\frac{2,07444}{3,741657}\approx0,5544\\ \text{ms}.
  • Margem de erro: E = t_{0,025,13}\times\text{EP}\approx2,160\times0,5544\approx1,1975\\ \text{ms}.
  • Limites do intervalo: \text{limite inferior}=\bar{x}-E\approx15,442857-1,1975\approx14,2454\\ \text{ms},
\text{limite superior}=\bar{x}+E\approx15,442857+1,1975\approx16,6404\\ \text{ms}.
Arredondando para três casas decimais: intervalo de confiança de 95\% é aproximadamente [14,245\\ \text{ms};\;16,640\\ \text{ms}].
Interpretação final: com 95\% de confiança, o tempo médio de processamento do programa está entre cerca de 14,245 ms e 16,640 ms.

Resposta

a) \bar{x}=15,443\\ \text{ms};\\ s=2,074\\ \text{ms}
b) Intervalo de confiança de 95\%: [14,245\\ \text{ms};\\\ 16,640\\ \text{ms}]

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