Exercício 14 Seja X \sim U(0,1). Determine a f.d.p das seguintes variáveis aleatórias:
(d) Y=-\frac{\ln (1-X)}{2};

Passo 1

O enunciado dá que X tem distribuição uniforme no intervalo (0,1), isto é X\sim U(0,1), e define a variável transformada
Y = -\frac{\ln(1-X)}{2}.
O que se pede: determinar a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de Y.
Informações relevantes fornecidas:
  • A f.d.p. de X é f_X(x)=1 para 0<x<1 e 0 fora desse intervalo.
  • A transformação Y=g(X) é dada por g(x) = -\dfrac{\ln(1-x)}{2}.

Passo 2

Determinar o domínio (supondo X\in(0,1)) e a imagem de g. Calcular os limites para ver o intervalo de Y.
Quando x\to 0^+ temos 1-x\to 1 e \ln(1-x)\to 0, então
Y \to -\frac{0}{2}=0.
Quando x\to 1^- temos 1-x\to 0^+ e \ln(1-x)\to -\infty, então
Y \to -\frac{-\infty}{2}=+\infty.
Logo o intervalo de valores possíveis para Y é [0,\infty).

Passo 3

Verificar se a transformação é monotônica (para poder usar a fórmula de mudança de variável simples). Calcular a derivada de g:
g'(x) = -\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1-x}\cdot(-1)=\frac{1}{2(1-x)}.
Como g'(x)>0 para 0<x<1, g é estritamente crescente e portanto invertível nesse intervalo. Vamos achar a inversa g^{-1}.

Passo 4

Resolver y = -\dfrac{\ln(1-x)}{2} para x. Multiplicando por -2 e exponenciando:
\ln(1-x) = -2y \quad\Rightarrow\quad 1-x = e^{-2y} \quad\Rightarrow\quad x = 1 - e^{-2y}.
Portanto
g^{-1}(y)=1-e^{-2y},\qquad y\ge 0.

Passo 5

Apresentar e aplicar a fórmula de transformação de densidade para função monotônica e diferenciável: se Y=g(X) e g é monotônica, então para y na imagem
f_Y(y) = f_X\big(g^{-1}(y)\big)\left|\frac{d}{dy}g^{-1}(y)\right|.
Aqui f_X(x)=1 para 0<x<1. Calcular a derivada de g^{-1}(y):
\frac{d}{dy}g^{-1}(y)=\frac{d}{dy}\big(1-e^{-2y}\big)=2e^{-2y}.
Substituindo na fórmula e lembrando que g^{-1}(y)\in(0,1) quando y\in[0,\infty), obtemos
f_Y(y)=1\cdot 2e^{-2y}=2e^{-2y},\qquad y\ge 0,
e f_Y(y)=0 para y<0.

Passo 6

Checagem rápida de consistência: verificar que a densidade integra 1.
\int_{0}^{\infty} 2e^{-2y}\,dy = 2\left[-\frac{1}{2}e^{-2y}\right]_{0}^{\infty} = 2\left(0 - \left(-\frac{1}{2}\right)\right)=1,
logo está correta. Observação: Y segue uma distribuição exponencial com parâmetro \lambda=2.

Resposta

f_Y(y)=\begin{cases}2e^{-2y}, & y\ge 0,\\[4pt]0, & y<0.\end{cases}]

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