Exercício 14 Seja X \sim U(0,1). Determine a f.d.p das seguintes variáveis aleatórias:
(d) Y=-\frac{\ln (1-X)}{2};
Passo 1
O enunciado dá que X tem distribuição uniforme no intervalo (0,1), isto é X\sim U(0,1), e define a variável transformada
Y = -\frac{\ln(1-X)}{2}.
O que se pede: determinar a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de Y.
Informações relevantes fornecidas:
A f.d.p. de X é f_X(x)=1 para 0<x<1 e 0 fora desse intervalo.
A transformação Y=g(X) é dada por g(x) = -\dfrac{\ln(1-x)}{2}.
Passo 2
Determinar o domínio (supondo X\in(0,1)) e a imagem de g. Calcular os limites para ver o intervalo de Y.
Quando x\to 0^+ temos 1-x\to 1 e \ln(1-x)\to 0, então
Y \to -\frac{0}{2}=0.
Quando x\to 1^- temos 1-x\to 0^+ e \ln(1-x)\to -\infty, então
Y \to -\frac{-\infty}{2}=+\infty.
Logo o intervalo de valores possíveis para Y é [0,\infty).
Passo 3
Verificar se a transformação é monotônica (para poder usar a fórmula de mudança de variável simples). Calcular a derivada de g:
Apresentar e aplicar a fórmula de transformação de densidade para função monotônica e diferenciável: se Y=g(X) e g é monotônica, então para y na imagem