Exercício 14 Seja X \sim U(0,1). Determine a f.d.p das seguintes variáveis aleatórias:
(e) Y=\sqrt{-\ln (1-X)}.

Passo 1

O enunciado dá que X\sim U(0,1) (ou seja, X é uniforme no intervalo (0,1)) e pede a função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável aleatória
Y=\sqrt{-\ln(1-X)}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A densidade de X é
f_X(x)=1,\qquad 0<x<1,
e f_X(x)=0 fora de (0,1).
  • A transformação que define Y envolve a função logaritmo e raiz quadrada; isso sugere que o suporte de Y será [0,\infty) (porque a raiz quadrada gera valores não-negativos).
    O que se pede: determinar a f.d.p. f_Y(y) (ou equivalentemente a c.d.f. F_Y(y)) de Y.

Passo 2

Vamos calcular primeiro a função de distribuição acumulada (c.d.f.) de Y:
F_Y(y)=\Pr(Y\le y).
Observação inicial: como Y=\sqrt{-\ln(1-X)} é uma raiz quadrada, Y\ge0 sempre. Logo, para y<0 temos imediatamente
F_Y(y)=0 \qquad (y<0).
Agora consideramos y\ge0. Então podemos manipular a desigualdade com segurança (ao elevar ao quadrado não mudamos o sentido):
\begin{aligned} \Pr(Y\le y) &= \Pr\big(\sqrt{-\ln(1-X)} \le y\big)\\\ &= \Pr\big(-\ln(1-X) \le y^{2}\big)\\\ &= \Pr\big(\ln(1-X) \ge -y^{2}\big). \end{aligned}
Na última linha multiplicamos por -1, o que inverteu a desigualdade. Agora exponenciando (a função exponencial é crescente) obtemos
\Pr\big(\ln(1-X) \ge -y^{2}\big) = \Pr\big(1-X \ge e^{-y^{2}}\big).
Isto é equivalente a
\Pr\big(X \le 1 - e^{-y^{2}}\big).

Passo 3

Como X é uniforme em (0,1), sua c.d.f. é F_X(x)=x para 0\le x\le1. Portanto, para y\ge0,
F_Y(y) = \Pr\big(X \le 1 - e^{-y^{2}}\big) = 1 - e^{-y^{2}},
desde que 1 - e^{-y^{2}} esteja em [0,1], o que de fato ocorre para todo y\ge0. Resumindo a c.d.f.:
F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y<0,\\[4pt] 1 - e^{-y^{2}}, & y\ge0. \end{cases}]

Passo 4

Agora obtemos a f.d.p. diferenciando a c.d.f. em pontos de continuidade. Para y>0,
\begin{aligned} f_Y(y) &= \frac{d}{dy}F_Y(y) = \frac{d}{dy}\big(1 - e^{-y^{2}}\big)\\[4pt] &= -\big(-2y\,e^{-y^{2}}\big) = 2y\,e^{-y^{2}}. \end{aligned}
Incluímos também que f_Y(y)=0 para y<0. Em y=0 a densidade pode ser tomada como f_Y(0)=0 (já que a expressão 2y e^{-y^2} tende a 0 quando y\to0^+).]

Passo 5

(Explicação alternativa — útil para fixar a ideia.)
Definindo U=1-X, nota-se que U\sim U(0,1). Para U\sim U(0,1) vale que T=-\ln U tem distribuição exponencial com parâmetro 1, isto é
f_T(t)=e^{-t},\qquad t\ge0.
Como Y=\sqrt{T}, temos T=Y^{2} e dt/dy=2y. Aplicando a fórmula de transformação de densidades:
f_Y(y)=f_T(y^{2})\left|\frac{d}{dy}(y^{2})\right| = e^{-y^{2}}\cdot 2y = 2y\,e^{-y^{2}},\qquad y\ge0,
o mesmo resultado obtido acima. (Isto é um caso concreto da regra: se Y=g(T) com g bijetora e diferenciável, então f_Y(y)=f_T(g^{-1}(y))\cdot |(g^{-1})'(y)|.)

Resposta

f_Y(y)=2y\,e^{-y^{2}},\\ y\ge0 e f_Y(y)=0,\\ y<0

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