Exercício 14 Seja X \sim U(0,1). Determine a f.d.p das seguintes variáveis aleatórias:
(e) Y=\sqrt{-\ln (1-X)}.
Passo 1
O enunciado dá que X\sim U(0,1) (ou seja, X é uniforme no intervalo (0,1)) e pede a função densidade de probabilidade (f.d.p.) da variável aleatória
Y=\sqrt{-\ln(1-X)}.
Informações relevantes fornecidas:
A densidade de X é
f_X(x)=1,\qquad 0<x<1,
e f_X(x)=0 fora de (0,1).
A transformação que define Y envolve a função logaritmo e raiz quadrada; isso sugere que o suporte de Y será [0,\infty) (porque a raiz quadrada gera valores não-negativos).
O que se pede: determinar a f.d.p. f_Y(y) (ou equivalentemente a c.d.f. F_Y(y)) de Y.
Passo 2
Vamos calcular primeiro a função de distribuição acumulada (c.d.f.) de Y:
F_Y(y)=\Pr(Y\le y).
Observação inicial: como Y=\sqrt{-\ln(1-X)} é uma raiz quadrada, Y\ge0 sempre. Logo, para y<0 temos imediatamente
F_Y(y)=0 \qquad (y<0).
Agora consideramos y\ge0. Então podemos manipular a desigualdade com segurança (ao elevar ao quadrado não mudamos o sentido):
Incluímos também que f_Y(y)=0 para y<0. Em y=0 a densidade pode ser tomada como f_Y(0)=0 (já que a expressão 2y e^{-y^2} tende a 0 quando y\to0^+).]
Passo 5
(Explicação alternativa — útil para fixar a ideia.)
Definindo U=1-X, nota-se que U\sim U(0,1). Para U\sim U(0,1) vale que T=-\ln U tem distribuição exponencial com parâmetro 1, isto é
f_T(t)=e^{-t},\qquad t\ge0.
Como Y=\sqrt{T}, temos T=Y^{2} e dt/dy=2y. Aplicando a fórmula de transformação de densidades:
o mesmo resultado obtido acima. (Isto é um caso concreto da regra: se Y=g(T) com g bijetora e diferenciável, então f_Y(y)=f_T(g^{-1}(y))\cdot |(g^{-1})'(y)|.)