Um analista de sistemas está avaliando o desempenho de um novo programa de análise numérica. Forneceu como entrada do programa 14 operações similares e obteve os seguintes tempos de processamento (em milissegundos):
12,0
13,5
16,0
15,7
15,8
16,5
15,0
13,1
15,2
18,1
18,5
12,3
17,5
17,0
a) Calcule a média e o desvio padrão da amostra do tempo de processamento.
b) Construir um intervalo de confiança para o tempo médio de processamento, com nível de confiança de 95%.
c) Qual deve ser o tamanho da amostra para garantir um erro amostral máximo de 0,5 milissegundo, na estimação do tempo médio de processamento, com nível de confiança de 99%?
| 12,0 | 13,5 | 16,0 | 15,7 | 15,8 | 16,5 | 15,0 | 13,1 |
| 15,2 | 18,1 | 18,5 | 12,3 | 17,5 | 17,0 |
b) Construir um intervalo de confiança para o tempo médio de processamento, com nível de confiança de 95%.
c) Qual deve ser o tamanho da amostra para garantir um erro amostral máximo de 0,5 milissegundo, na estimação do tempo médio de processamento, com nível de confiança de 99%?
Passo 1
O enunciado dá 14 tempos de processamento (em milissegundos) e pede três coisas. Os dados são (peguei-os do enunciado):
As perguntas:
(a) Calcular a média amostral e o desvio padrão amostral.
(b) Construir um intervalo de confiança de para a média verdadeira.
(c) Determinar o tamanho de amostra necessário para erro máximo ms com nível de confiança
.
(a) Calcular a média amostral e o desvio padrão amostral.
(b) Construir um intervalo de confiança de
(c) Determinar o tamanho de amostra necessário para erro máximo
Passo 2
Calcular a média amostral (fórmula e interpretação). A média amostral
é a soma dos valores dividida por
. Fórmula:
onde
é o número de observações e
cada observação. Aqui
.
Somando os dados (peguei os valores da lista acima):
Logo a média é
Interpretação:
é o melhor palpite (estimador pontual) para o tempo médio de processamento.
Passo 3
Calcular a variância amostral e o desvio padrão (fórmulas e passos). A variância amostral
(usando correção de Bessel) pode ser calculada por:
Uma forma numérica prática é usar
onde
é a soma dos quadrados das observações.
Calculei a soma dos quadrados (peguei os quadrados de cada valor da lista):
Já temos
.
Portanto
Dividindo por
:
O desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância:
Breve interpretação:
mede a dispersão dos tempos em torno da média; usamos
no denominador para obter uma estimativa não tendenciosa da variância populacional quando usamos a amostra.
Passo 4
Intervalo de confiança de
para a média (fórmula, escolha da distribuição e cálculo). Como a variância populacional é desconhecida e
é pequeno, usa-se a distribuição
de Student com
graus de liberdade. A fórmula do intervalo de confiança é
onde
é o quantil da
(para
,
, usamos
) e
é o erro padrão da média.
Valor crítico (tabela):
.
Erro padrão:
Margem de erro:
Logo o intervalo de confiança de
é
ou seja
Interpretação: com
de confiança, o verdadeiro tempo médio está entre aproximadamente
e
ms.
Passo 5
Tamanho de amostra necessário para erro máximo dado (fórmula, justificativa e cálculo). Para planejar o tamanho
que garante um erro amostral máximo
para a média com nível de confiança
, uma fórmula prática (quando a variância não é conhecida, usa-se uma estimativa
obtida da amostra-piloto e o quantil da normal) é
onde
é o quantil da distribuição normal padrão. Justificativa: para planejamento de amostra assume-se que
será suficientemente grande para aproximar a
por normal; é prática comum usar
e a estimativa
da amostra piloto.
Aqui queremos
ms e nível de confiança
(
), então
. Usamos a estimativa
do passo anterior.
Calcule:
Como o tamanho de amostra deve ser inteiro e para garantir o erro máximo devemos arredondar para cima:
Comentário prático: se quiser ser mais conservador (usar
em vez de
ao planejar) o valor pedido pode ser ligeiramente maior, mas a prática usual é usar
com uma estimativa prévia de
.
Resposta
(a)
;
(b) Intervalo de confiança de :
(c) Tamanho de amostra requerido: .
(b) Intervalo de confiança de
(c) Tamanho de amostra requerido: