Um analista de sistemas está avaliando o desempenho de um novo programa de análise numérica. Forneceu como entrada do programa 14 operações similares e obteve os seguintes tempos de processamento (em milissegundos):
12,0 13,5 16,0 15,7 15,8 16,5 15,0 13,1
15,2 18,1 18,5 12,3 17,5 17,0
a) Calcule a média e o desvio padrão da amostra do tempo de processamento.
b) Construir um intervalo de confiança para o tempo médio de processamento, com nível de confiança de 95%.
c) Qual deve ser o tamanho da amostra para garantir um erro amostral máximo de 0,5 milissegundo, na estimação do tempo médio de processamento, com nível de confiança de 99%?

Passo 1

O enunciado dá 14 tempos de processamento (em milissegundos) e pede três coisas. Os dados são (peguei-os do enunciado):
12{,}0,\;13{,}5,\;16{,}0,\;15{,}7,\;15{,}8,\;16{,}5,\;15{,}0,\;13{,}1,\;15{,}2,\;18{,}1,\;18{,}5,\;12{,}3,\;17{,}5,\;17{,}0.
As perguntas:
(a) Calcular a média amostral e o desvio padrão amostral.
(b) Construir um intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira.
(c) Determinar o tamanho de amostra necessário para erro máximo E=0{,}5 ms com nível de confiança 99\%.

Passo 2

Calcular a média amostral (fórmula e interpretação). A média amostral \bar{x} é a soma dos valores dividida por n. Fórmula:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i,
onde n é o número de observações e x_i cada observação. Aqui n=14.
Somando os dados (peguei os valores da lista acima):
\sum_{i=1}^{14} x_i = 216{,}2.
Logo a média é
\bar{x}=\frac{216{,}2}{14}=15{,}442857\ldots\approx 15{,}443\\ \text{ms}.
Interpretação: \bar{x} é o melhor palpite (estimador pontual) para o tempo médio de processamento.

Passo 3

Calcular a variância amostral e o desvio padrão (fórmulas e passos). A variância amostral s^2 (usando correção de Bessel) pode ser calculada por:
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2.
Uma forma numérica prática é usar
s^2=\frac{\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2}{n-1},
onde \sum x_i^2 é a soma dos quadrados das observações.
Calculei a soma dos quadrados (peguei os quadrados de cada valor da lista):
\sum_{i=1}^{14} x_i^2 = 3394{,}68.
Já temos n\bar{x}^2 = 14\cdot(15{,}442857\ldots)^2 \approx 3338{,}74576.
Portanto
\sum_{i=1}^n x_i^2 - n\bar{x}^2 = 3394{,}68 - 3338{,}74576 = 55{,}93424.
Dividindo por n-1=13:
s^2=\frac{55{,}93424}{13}=4{,}3026323\ldots\approx 4{,}3026\\ (\text{ms}^2).
O desvio padrão amostral é a raiz quadrada da variância:
s=\sqrt{s^2}\approx\sqrt{4{,}3026323}\approx 2{,}074\\ \text{ms}.
Breve interpretação: s mede a dispersão dos tempos em torno da média; usamos n-1 no denominador para obter uma estimativa não tendenciosa da variância populacional quando usamos a amostra.

Passo 4

Intervalo de confiança de 95\% para a média (fórmula, escolha da distribuição e cálculo). Como a variância populacional é desconhecida e n=14 é pequeno, usa-se a distribuição t de Student com n-1=13 graus de liberdade. A fórmula do intervalo de confiança é
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\;n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}},
onde t_{1-\alpha/2,\;n-1} é o quantil da t (para 95\%, \alpha=0{,}05, usamos t_{0{,}975,13}) e s/\sqrt{n} é o erro padrão da média.
Valor crítico (tabela): t_{0{,}975,13}\approx 2{,}160.
Erro padrão:
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{2{,}074}{\sqrt{14}}\approx\frac{2{,}074}{3{,}741657}=0{,}5543\\ \text{ms}.
Margem de erro:
\text{ME}=t_{0{,}975,13}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}\approx 2{,}160\cdot 0{,}5543\approx 1{,}1973\\ \text{ms}.
Logo o intervalo de confiança de 95\% é
\bar{x}\pm \text{ME}\approx 15{,}4429 \pm 1{,}1973,
ou seja
(15{,}4429-1{,}1973,\;15{,}4429+1{,}1973)\approx(14{,}2456,\;16{,}6402)\\ \text{ms}.
Interpretação: com 95\% de confiança, o verdadeiro tempo médio está entre aproximadamente 14{,}246 e 16{,}640 ms.

Passo 5

Tamanho de amostra necessário para erro máximo dado (fórmula, justificativa e cálculo). Para planejar o tamanho n que garante um erro amostral máximo E para a média com nível de confiança 1-\alpha, uma fórmula prática (quando a variância não é conhecida, usa-se uma estimativa s obtida da amostra-piloto e o quantil da normal) é
n\approx\left(\frac{z_{1-\alpha/2}\,s}{E}\right)^2,
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão. Justificativa: para planejamento de amostra assume-se que n será suficientemente grande para aproximar a t por normal; é prática comum usar z e a estimativa s da amostra piloto.
Aqui queremos E=0{,}5 ms e nível de confiança 99\% ( \alpha=0{,}01), então z_{0{,}995}\approx 2{,}5758. Usamos a estimativa s\approx 2{,}074 do passo anterior.
Calcule:
n\approx\left(\frac{2{,}5758\cdot 2{,}074}{0{,}5}\right)^2 =\left(\frac{5{,}3426}{0{,}5}\right)^2=\left(10{,}6852\right)^2\approx 114{,}18.
Como o tamanho de amostra deve ser inteiro e para garantir o erro máximo devemos arredondar para cima:
n=115.
Comentário prático: se quiser ser mais conservador (usar t em vez de z ao planejar) o valor pedido pode ser ligeiramente maior, mas a prática usual é usar z com uma estimativa prévia de s.

Resposta

(a) \bar{x}\approx 15{,}443\\ \text{ms}; s\approx 2{,}074\\ \text{ms}.
(b) Intervalo de confiança de 95\%: (14{,}2456,\;16{,}6402)\\ \text{ms}.
(c) Tamanho de amostra requerido: n=115.

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