Como objetivo de avaliar a confiabilidade de um novo sistema de transmissão de dados, torna-se necessário verificar a proporção de bits transmitidos com erro em cada lote de 100 Mb . Considere que seja tolerável um erro amostral máximo de
e que em sistemas similares a taxa de erro na transmissão é de
. Qual deve ser o tamanho da amostra?
Use
.
Use
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- O que foi pedido: determinar o tamanho da amostra necessária para estimar a proporção de bits com erro em um lote de
, com erro amostral máximo tolerável de e nível de confiança . - Informações fornecidas:
- Erro amostral máximo (margem de erro):
(peguei do enunciado: ). - Estimativa prévia da proporção de erros:
(peguei do enunciado: ). - Nível de confiança:
(peguei do enunciado). - Tamanho do lote (população finita):
bits (peguei do enunciado: cada lote tem ).
- Erro amostral máximo (margem de erro):
O que devemos fornecer: o tamanho da amostra
(número de bits a serem verificados) que garante a margem de erro desejada com o nível de confiança dado.
Passo 2
Explicação da ideia e da fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
- Quando queremos estimar uma proporção
com margem de erro e nível de confiança , usamos o intervalo de confiança para proporção baseado na distribuição normal (aproximação normal da binomial quando amostra é razoavelmente grande). A margem de erro é dada por
onde:
-
é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança . Aqui . -
é a estimativa da proporção verdadeira. -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar. -
Isolando
(tamanho de amostra sem considerar correção por população finita) obtemos a fórmula clássica
Essa fórmula fornece um valor inicial
. Se a população for finita (como aqui,
), aplica-se a correção de população finita (FPC):
- Observação prática: sempre arredondar
para cima (para o inteiro seguinte) para garantir que a margem de erro seja, no máximo, .
Passo 3
Encontrar o valor crítico
para
.
- Primeiro calcule
. - Então
. O quantil é tal que . - O valor padrão é aproximadamente
Passo 4
Calcular
usando a fórmula sem correção finita.
- Dados:
, , então , e então . - Calcule
:
- Agora calcule o numerador:
- Finalmente,
Portanto o valor inicial sem considerar população finita é aproximadamente
.
Passo 5
Aplicar a correção para população finita (FPC) porque o lote tem
bits.
- Fórmula da correção:
- Substituindo
e :
- Assim
A correção é praticamente desprezível porque
é muito grande comparado com
.
Passo 6
Arredondamento e interpretação final.
- O tamanho da amostra deve ser um número inteiro e deve ser arredondado para cima para garantir que a margem de erro não ultrapasse
. - Portanto adotamos
- Interpretação: verificar
bits ao acaso dentro do lote de garante, com de confiança, que a estimativa da proporção de bits com erro terá erro amostral no máximo , assumindo que a taxa verdadeira está próxima de .