Como objetivo de avaliar a confiabilidade de um novo sistema de transmissão de dados, torna-se necessário verificar a proporção de bits transmitidos com erro em cada lote de 100 Mb . Considere que seja tolerável um erro amostral máximo de 2 \% e que em sistemas similares a taxa de erro na transmissão é de 10 \%. Qual deve ser o tamanho da amostra?
Use \gamma=0,99.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • O que foi pedido: determinar o tamanho da amostra necessária para estimar a proporção de bits com erro em um lote de 100\\ \text{Mb}, com erro amostral máximo tolerável de 2\% e nível de confiança \gamma=0,99.
  • Informações fornecidas:
    • Erro amostral máximo (margem de erro): E=0,02 (peguei do enunciado: 2\%).
    • Estimativa prévia da proporção de erros: p=0,10 (peguei do enunciado: 10\%).
    • Nível de confiança: \gamma=0,99 (peguei do enunciado).
    • Tamanho do lote (população finita): N=100\\ \text{Mb} = 100\cdot 10^{6} bits =100\,000\,000 (peguei do enunciado: cada lote tem 100\\ \text{Mb}).
O que devemos fornecer: o tamanho da amostra n (número de bits a serem verificados) que garante a margem de erro desejada com o nível de confiança dado.

Passo 2

Explicação da ideia e da fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Quando queremos estimar uma proporção p com margem de erro E e nível de confiança \gamma, usamos o intervalo de confiança para proporção baseado na distribuição normal (aproximação normal da binomial quando amostra é razoavelmente grande). A margem de erro E é dada por
E = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}},
onde:
  • z_{\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão associado ao nível de confiança \gamma. Aqui \alpha = 1-\gamma.
  • p é a estimativa da proporção verdadeira.
  • n é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
  • Isolando n (tamanho de amostra sem considerar correção por população finita) obtemos a fórmula clássica
n_0=\frac{z_{\alpha/2}^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.
Essa fórmula fornece um valor inicial n_0. Se a população for finita (como aqui, N=100\,000\,000), aplica-se a correção de população finita (FPC):
n=\frac{n_0}{1+\dfrac{n_0-1}{N}}.
  • Observação prática: sempre arredondar n para cima (para o inteiro seguinte) para garantir que a margem de erro seja, no máximo, E.

Passo 3

Encontrar o valor crítico z_{\alpha/2} para \gamma=0,99.
  • Primeiro calcule \alpha = 1-\gamma = 1-0,99 = 0,01.
  • Então \alpha/2 = 0,005. O quantil z_{\alpha/2} é tal que \Pr(Z \le z_{\alpha/2}) = 1-0,005 = 0,995.
  • O valor padrão é aproximadamente
z_{\alpha/2}\approx 2,5758.

Passo 4

Calcular n_0 usando a fórmula sem correção finita.
  • Dados: z_{\alpha/2}\approx 2,5758, p=0,10, então p(1-p)=0,10\cdot 0,90=0,09, e E=0,02 então E^{2}=0,0004.
  • Calcule z_{\alpha/2}^{2}:
z_{\alpha/2}^{2}\approx (2,5758)^{2}\approx 6,63475.
  • Agora calcule o numerador:
z_{\alpha/2}^{2}\,p(1-p)\approx 6,63475\cdot 0,09 = 0,5971275.
  • Finalmente,
n_0=\frac{0,5971275}{0,0004}=1\,492,81875.
Portanto o valor inicial sem considerar população finita é aproximadamente n_0\approx 1\,492{,}82.

Passo 5

Aplicar a correção para população finita (FPC) porque o lote tem N=100\,000\,000 bits.
  • Fórmula da correção:
n=\frac{n_0}{1+\dfrac{n_0-1}{N}}.
  • Substituindo n_0\approx 1\,492{,}81875 e N=100\,000\,000:
1+\frac{n_0-1}{N}=1+\frac{1\,491{,}81875}{100\,000\,000}=1+0{,}0000149181875\approx 1{,}0000149181875.
  • Assim
n=\frac{1\,492{,}81875}{1{,}0000149181875}\approx 1\,492{,}796.
A correção é praticamente desprezível porque N é muito grande comparado com n_0.

Passo 6

Arredondamento e interpretação final.
  • O tamanho da amostra deve ser um número inteiro e deve ser arredondado para cima para garantir que a margem de erro não ultrapasse E.
  • Portanto adotamos
n=\lceil 1\,492{,}796\rceil = 1\,493.
  • Interpretação: verificar 1\,493 bits ao acaso dentro do lote de 100\\ \text{Mb} garante, com 99\% de confiança, que a estimativa da proporção de bits com erro terá erro amostral no máximo 2\%, assumindo que a taxa verdadeira está próxima de p=0,10.

Resposta

n=1\,493

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