Com os dados históricos sobre a temperatura do pasteurizador de um laticínio, sabe-se que a variância é aproximadamente 1,8\left({ }^{\circ} \mathrm{C}\right)^{2}. Planeja-se fazer uma amostragem para avaliar o valor médio da temperatura do pasteurizador. Suponha que as observações sejam feitas sob as mesmas condições e de forma independente. Qual deve ser o tamanho da amostra, para garantir um erro máximo de 0,3^{\circ} \mathrm{C}, com nível de confiança de 95 \% ?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais informações temos:
  • Pede-se o tamanho da amostra necessário para estimar a média da temperatura do pasteurizador, de modo que o erro máximo (margem de erro) seja 0,3^\circ\mathrm{C} com nível de confiança de 95\%.
  • Informações dadas:
    • Variância histórica aproximada: \sigma^2 = 1,8\left(^{\circ}\mathrm{C}\right)^2. (Peguei este valor do enunciado.)
    • Erro máximo desejado: E = 0,3^\circ\mathrm{C}.
    • Nível de confiança: 95\%, o que implica \alpha = 0,05 e z_{\alpha/2}=z_{0,025} (valor crítico da normal).
  • Resumo do que vamos entregar: o valor inteiro n (tamanho da amostra) que garante a margem de erro solicitada.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Quando a variância populacional \sigma^2 é conhecida e as observações são independentes, o intervalo de confiança para a média \mu tem a forma
\bar{X}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde:
  • \bar{X} é a média amostral (não precisamos de um valor específico aqui);
  • z_{\alpha/2} é o quantil da normal padrão que deixa \alpha/2 na cauda superior (para 95\% de confiança, \alpha/2=0,025);
  • \sigma é o desvio-padrão populacional (a raiz da variância dada);
  • n é o tamanho da amostra.
  • A margem de erro E é o termo à direita do \pm:
E = z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.
  • Para garantir um erro máximo E conhecido, isolamos n:
n = \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2.
Explicação das variáveis novamente:
  • E é o erro máximo tolerado (a distância máxima entre \bar X e \mu que aceitamos).
  • Essa fórmula vem de reordenar a expressão da margem de erro e elevá-la ao quadrado para eliminar a raiz.

Passo 3

Calcular o desvio-padrão \sigma a partir da variância dada:
  • A variância dada é \sigma^2 = 1,8\left(^{\circ}\mathrm{C}\right)^2 (peguei do enunciado).
  • Portanto
\sigma = \sqrt{1,8}\approx 1,3416\\ ^{\circ}\mathrm{C}.
(Arredondei para quatro casas decimais apenas para facilitar as contas; manteremos precisão suficiente.)

Passo 4

Determinar o valor crítico z_{\alpha/2} para 95\% de confiança:
  • Para nível de confiança 95\% temos \alpha=0,05 e \alpha/2=0,025.
  • O quantil da normal padrão correspondente é
z_{0,025}=1,96.
(Este é o valor padrão usado em muitos exercícios e tabelas de normal.)

Passo 5

Aplicar a fórmula do tamanho da amostra e calcular numericamente passo a passo:
  • Fórmula:
n = \left(\frac{z_{0,025}\,\sigma}{E}\right)^2.
  • Substituindo os valores z_{0,025}=1,96, \sigma\approx 1,3416 e E=0,3:
\frac{z_{0,025}\,\sigma}{E} = \frac{1,96\cdot 1,3416}{0,3}\approx \frac{2,6296}{0,3}\approx 8,7654.
  • Agora elevando ao quadrado:
n \approx (8,7654)^2 \approx 76,83.

Passo 6

Interpretação do resultado e arredondamento:
  • O valor calculado n\approx 76,83 indica o número de observações necessário em termos reais; contudo o tamanho da amostra deve ser um inteiro.
  • Para garantir que o erro máximo não ultrapasse 0,3^\circ\mathrm{C}, é preciso arredondar para cima (sempre arredondar para o inteiro seguinte quando se deseja garantir o máximo erro).
  • Assim o tamanho da amostra necessário é n=77.

Resposta

77

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