Com os dados históricos sobre a temperatura do pasteurizador de um laticínio, sabe-se que a variância é aproximadamente
. Planeja-se fazer uma amostragem para avaliar o valor médio da temperatura do pasteurizador. Suponha que as observações sejam feitas sob as mesmas condições e de forma independente. Qual deve ser o tamanho da amostra, para garantir um erro máximo de
, com nível de confiança de
?
Passo 1
O que o enunciado pede e quais informações temos:
- Pede-se o tamanho da amostra necessário para estimar a média da temperatura do pasteurizador, de modo que o erro máximo (margem de erro) seja
com nível de confiança de . - Informações dadas:
- Variância histórica aproximada:
. (Peguei este valor do enunciado.) - Erro máximo desejado:
. - Nível de confiança:
, o que implica e (valor crítico da normal).
- Variância histórica aproximada:
- Resumo do que vamos entregar: o valor inteiro
(tamanho da amostra) que garante a margem de erro solicitada.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática):
- Quando a variância populacional
é conhecida e as observações são independentes, o intervalo de confiança para a média tem a forma
onde:
-
é a média amostral (não precisamos de um valor específico aqui); -
é o quantil da normal padrão que deixa na cauda superior (para de confiança, ); -
é o desvio-padrão populacional (a raiz da variância dada); -
é o tamanho da amostra. - A margem de erro
é o termo à direita do :
- Para garantir um erro máximo
conhecido, isolamos :
Explicação das variáveis novamente:
-
é o erro máximo tolerado (a distância máxima entre e que aceitamos). - Essa fórmula vem de reordenar a expressão da margem de erro e elevá-la ao quadrado para eliminar a raiz.
Passo 3
Calcular o desvio-padrão
a partir da variância dada:
- A variância dada é
(peguei do enunciado). - Portanto
(Arredondei para quatro casas decimais apenas para facilitar as contas; manteremos precisão suficiente.)
Passo 4
Determinar o valor crítico
para
de confiança:
- Para nível de confiança
temos e . - O quantil da normal padrão correspondente é
(Este é o valor padrão usado em muitos exercícios e tabelas de normal.)
Passo 5
Aplicar a fórmula do tamanho da amostra e calcular numericamente passo a passo:
- Fórmula:
- Substituindo os valores
, e :
- Agora elevando ao quadrado:
Passo 6
Interpretação do resultado e arredondamento:
- O valor calculado
indica o número de observações necessário em termos reais; contudo o tamanho da amostra deve ser um inteiro. - Para garantir que o erro máximo não ultrapasse
, é preciso arredondar para cima (sempre arredondar para o inteiro seguinte quando se deseja garantir o máximo erro). - Assim o tamanho da amostra necessário é
.
Resposta
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