Sea \mathbf{F}: \mathbf{P}_{2} \rightarrow \mathbf{R}^{2}, dada por \mathbf{F}\left(a+b X+c X^{2}\right)=(b,(a+b-c)). Se pide:
a) Dar, si es posible, una base de Núcleo e Imagen de la aplicación lineal.
b) Analizar inyectividad y suryectividad de la aplicación lineal.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear \mathbf{F}:\mathbf{P}_{2}\to\mathbf{R}^{2} definida por
\mathbf{F}\bigl(a+bX+cX^{2}\bigr) = (b,\;a+b-c).
Pede-se:
a) Dar, se possível, uma base do Núcleo (ker) e uma base da Imagem (Im) da aplicação linear.
b) Analisar se \mathbf{F} é injetiva e/ou sobrejetiva.
Informações relevantes fornecidas: os polinómios de \mathbf{P}_{2} têm coeficientes reais a,b,c (grau ≤ 2) e a regra de \mathbf{F} usa esses coeficientes para formar um vetor em \mathbf{R}^{2} conforme acima.

Passo 2

Lembrando (definições que vamos usar):
  • O Núcleo \operatorname{Ker}(\mathbf{F}) é o conjunto de todos os polinómios p\in\mathbf{P}_{2} tais que \mathbf{F}(p)=(0,0).
  • A Imagem \operatorname{Im}(\mathbf{F}) é o conjunto de todos os vetores em \mathbf{R}^{2} que aparecem como \mathbf{F}(p) para algum p\in\mathbf{P}_{2}.
    Também usaremos a base canónica de \mathbf{P}_{2}, que é \{1,X,X^{2}\}, para calcular imagens de vetores geradores.

Passo 3

Calcular \operatorname{Ker}(\mathbf{F})\). Tomo um polinómio genérico \(p=a+bX+cX^{2}\). Impor \(\mathbf{F}(p)=(0,0)\) dá o sistema: \[\begin{cases} b = 0,\\[4pt] a+b-c = 0. \end{cases}
Da primeira equação temos b=0\]. Substituindo na segunda: \[a+0-c=0 \quad\Rightarrow\quad c=a.\] Logo os polinómios do núcleo são os que têm a forma \(a + 0\cdot X + aX^{2} = a(1+X^{2}), com a\in\mathbb{R}.]

Passo 4

Concluir base e dimensão do núcleo. Vimos que todo elemento do núcleo é múltiplo de 1+X^{2} e esse polinómio não é o polinómio zero quando a\neq 0. Portanto
\operatorname{Ker}(\mathbf{F})=\operatorname{span}\{\,1+X^{2}\,\}.
Uma base do núcleo é \{1+X^{2}\} e \dim(\operatorname{Ker}(\mathbf{F}))=1.

Passo 5

Calcular a imagem usando as imagens dos elementos da base \{1,X,X^{2}\} de \mathbf{P}_{2}:
\mathbf{F}(1)=\mathbf{F}(1+0X+0X^{2})=(0,\;1),
\mathbf{F}(X)=\mathbf{F}(0+1X+0X^{2})=(1,\;1),
\mathbf{F}(X^{2})=\mathbf{F}(0+0X+1X^{2})=(0,\;-1).
Assim \operatorname{Im}(\mathbf{F}) é o span dos vetores (0,1), (1,1), (0,-1) em \mathbb{R}^{2}.

Passo 6

Simplificar o gerador da imagem. Note que (0,-1) = -1\cdot(0,1), logo não acrescenta nova direcção. Assim dois vetores (0,1) e (1,1) já geram a imagem:
\operatorname{Im}(\mathbf{F})=\operatorname{span}\{(0,1),\,(1,1)\}.
Verificamos independência linear: se \alpha(0,1)+\beta(1,1)=(0,0), pelas componentes obtemos \beta=0 (primeira componente) e \alpha+\beta=0 (segunda componente), daí \alpha=0. Logo são linearmente independentes e formam uma base da imagem. Como há dois vetores linearmente independentes em \mathbb{R}^{2}, a imagem é todo \mathbb{R}^{2} e \dim(\operatorname{Im}(\mathbf{F}))=2.

Passo 7

Verificação com o teorema do posto-nulidade (rank-nullity): \dim(\mathbf{P}_{2})=3. Deve valer
\dim(\operatorname{Ker}(\mathbf{F}))+\dim(\operatorname{Im}(\mathbf{F}))=3.
De facto \,1+2=3, portanto consistente.

Passo 8

Análise de injetividade e sobrejetividade:
  • Injetividade: \mathbf{F} é injetiva sse \operatorname{Ker}(\mathbf{F})=\{0\}. Aqui \operatorname{Ker}(\mathbf{F}) contém 1+X^{2} (não-nulo), portanto o núcleo não é somente \{0\}. Logo \mathbf{F} não é injetiva. Um exemplo explícito de polinómio não-nulo no núcleo é 1+X^{2}, pois \mathbf{F}(1+X^{2})=(0,0).
  • Sobrejetividade: \mathbf{F} é sobrejetiva se \operatorname{Im}(\mathbf{F})=\mathbb{R}^{2}. Já mostramos que \operatorname{Im}(\mathbf{F})=\mathbb{R}^{2}. Portanto \mathbf{F} é sobrejetiva.

Resposta

a) \operatorname{Ker}(\mathbf{F})=\operatorname{span}\{\,1+X^{2}\,\}. \operatorname{Im}(\mathbf{F})=\operatorname{span}\{(0,1),\,(1,1)\}=\mathbb{R}^{2}.\n
b) \mathbf{F} não é injetiva; \mathbf{F} é sobrejetiva.

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