Sea
, dada por
. Se pide:
a) Dar, si es posible, una base de Núcleo e Imagen de la aplicación lineal.
b) Analizar inyectividad y suryectividad de la aplicación lineal.
a) Dar, si es posible, una base de Núcleo e Imagen de la aplicación lineal.
b) Analizar inyectividad y suryectividad de la aplicación lineal.
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação linear
definida por
Pede-se:
a) Dar, se possível, uma base do Núcleo (ker) e uma base da Imagem (Im) da aplicação linear.
b) Analisar se é injetiva e/ou sobrejetiva.
a) Dar, se possível, uma base do Núcleo (ker) e uma base da Imagem (Im) da aplicação linear.
b) Analisar se
Informações relevantes fornecidas: os polinómios de
têm coeficientes reais
(grau ≤ 2) e a regra de
usa esses coeficientes para formar um vetor em
conforme acima.
Passo 2
Lembrando (definições que vamos usar):
- O Núcleo
é o conjunto de todos os polinómios tais que . - A Imagem
é o conjunto de todos os vetores em que aparecem como para algum .
Também usaremos a base canónica de, que é , para calcular imagens de vetores geradores.
Passo 3
Calcular
Da primeira equação temos
, com
.]
Passo 4
Concluir base e dimensão do núcleo. Vimos que todo elemento do núcleo é múltiplo de
e esse polinómio não é o polinómio zero quando
. Portanto
Uma base do núcleo é
e
.
Passo 5
Calcular a imagem usando as imagens dos elementos da base
de
:
Assim
é o span dos vetores
em
.
Passo 6
Simplificar o gerador da imagem. Note que
, logo não acrescenta nova direcção. Assim dois vetores
e
já geram a imagem:
Verificamos independência linear: se
, pelas componentes obtemos
(primeira componente) e
(segunda componente), daí
. Logo são linearmente independentes e formam uma base da imagem. Como há dois vetores linearmente independentes em
, a imagem é todo
e
.
Passo 7
Verificação com o teorema do posto-nulidade (rank-nullity):
. Deve valer
De facto
, portanto consistente.
Passo 8
Análise de injetividade e sobrejetividade:
- Injetividade:
é injetiva sse . Aqui contém (não-nulo), portanto o núcleo não é somente . Logo não é injetiva. Um exemplo explícito de polinómio não-nulo no núcleo é , pois . - Sobrejetividade:
é sobrejetiva se . Já mostramos que . Portanto é sobrejetiva.
Resposta
a)
.
.\n
b) não é injetiva;
é sobrejetiva.
b)