Um anel circular eletricamente carregado, com raio de 2 m, está no plano \mathrm{z}=0, com centro localizado na origem. Se sua densidade uniforme for \lambda=10 \mathrm{nC} / \mathrm{m}, calcule o valor de uma carga pontual Q , na origem, capaz de produzir o mesmo campo elétrico \mathbf{E}, em (0,0,5) \mathrm{m}.

Passo 1

O enunciado nos dá um anel circular de raio R=2\mathrm{\,m}, centrado na origem e situado no plano z=0, com densidade linear de carga \lambda=10\mathrm{\,nC/m}. Queremos encontrar uma carga pontual Q, colocada na origem, que produza o mesmo campo elétrico \mathbf{E} no ponto P=(0,0,5\mathrm{\,m}) que o anel produz nesse mesmo ponto. Para isso vamos usar a expressão do campo no eixo de um anel uniformemente carregado e a do campo de uma carga pontual, igualá-las e resolver para Q.

Passo 2

Calcular a carga total do anel. Como a densidade linear é \lambda e o comprimento do anel é 2\pi R, temos
Q_{\rm anel} = \lambda \, (2\pi R) = 10\times10^{-9}\,\mathrm C/\mathrm m \;\times 2\pi\,(2\mathrm{\,m}) =4\pi\times10^{-8}\,\mathrm C.

Passo 3

Escrever o módulo do campo elétrico no eixo de um anel carregado. A uma distância z do centro, no eixo, vale
E_{\rm anel}(z) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{Q_{\rm anel}\,z}{\bigl(R^2+z^2\bigr)^{3/2}}.
No nosso caso tomamos z=5\mathrm{\,m}.

Passo 4

Escrever o módulo do campo de uma carga pontual Q na origem, no ponto a z=5\mathrm{\,m}:
E_{\rm ponto}(z) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q}{z^2}.
Para que os campos sejam iguais em P, basta igualar E_{\rm ponto}(5)=E_{\rm anel}(5). Como o fator 1/(4\pi\varepsilon_0) aparece dos dois lados, ele cancela, restando
\frac{Q}{5^2} =\frac{Q_{\rm anel}\,5}{\bigl(2^2+5^2\bigr)^{3/2}} \quad\Longrightarrow\quad Q =Q_{\rm anel}\,\frac{5^3}{\bigl(4+25\bigr)^{3/2}} =Q_{\rm anel}\,\frac{125}{29^{3/2}}.

Passo 5

Substituir Q_{\rm anel}=4\pi\times10^{-8}\mathrm C e calcular numericamente:
Q =4\pi\times10^{-8}\,\mathrm C\;\times\frac{125}{29^{3/2}} \approx1{,}006\times10^{-7}\,\mathrm C \approx100{,}6\mathrm{\,nC}.

Resposta

A carga pontual necessária é aproximadamente
Q\approx1,0\times10^{-7}\,\mathrm C \quad\bigl(\approx100,6\mathrm{\,nC}\bigr).

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