Um volume esférico, de raio a, apresenta uma densidade uniforme \rho. Mostre que
E= \begin{cases}\frac{r \rho}{3 \varepsilon_{o}} & r \leq a \\\ \frac{a^{3} \rho}{3 \varepsilon_{o} r^{2}} & r \geq a\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico E(r) gerado por uma distribuição esférica de raio a e densidade volumétrica uniforme \rho. Como a distribuição é esfericamente simétrica, vamos aplicar a Lei de Gauss, que relaciona o fluxo do campo elétrico numa superfície fechada à carga elétrica envolvida.

Passo 2

Para r \le a (dentro da esfera), escolhemos uma superfície gaussiana esférica de raio r. A carga contida dentro dela é
Q_{\text{int}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi r^3.
Pela Lei de Gauss,
\Phi = \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = E(r)\,4\pi r^2 \quad\text{e}\quad \Phi = \frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Igualando,
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{\rho \,\frac{4}{3}\pi r^3}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{\rho\,r}{3\,\varepsilon_{0}}.

Passo 3

Para r \ge a (fora da esfera), a superfície gaussiana de raio r envolve toda a carga total
Q_{\text{tot}} = \rho \times \frac{4}{3}\pi a^3.
Aplicando Gauss,
E(r)\,4\pi r^2 = \frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_{0}} = \frac{\rho\,\frac{4}{3}\pi a^3}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) = \frac{\rho\,a^3}{3\,\varepsilon_{0}\,r^2}.

Resposta

E(r) = \begin{cases} \dfrac{\rho\,r}{3\,\varepsilon_{0}}, & r \le a, \\[1em] \dfrac{\rho\,a^{3}}{3\,\varepsilon_{0}\,r^{2}}, & r \ge a. \end{cases}]

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