Calcule a carga contida em um volume definido por 1 \leq r \leq 2 m em coordenadas esféricas se:
\rho=\frac{5 \cos ^{2} \varphi}{r^{4}}\left(\mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede a carga total Q contida na casca esférica definida por 1 \le r \le 2 quando a densidade volumétrica é \rho = \dfrac{5\cos^2\varphi}{r^4} (em C/ m^{3}). Como estamos em coordenadas esféricas, vamos usar o elemento de volume \,dV = r^2\sin\varphi\,dr\,d\varphi\,d\theta e integrar em \theta\in[0,2\pi], \varphi\in[0,\pi] e r\in[1,2].

Passo 2

Escrevemos o triplo integral da carga:
Q \;=\;\iiint_V \rho\,dV
como
Q = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\pi}\!\int_{1}^{2} \frac{5\cos^2\varphi}{r^{4}}\;r^{2}\sin\varphi\;dr\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Separamos as integrais em produto de três:
Q =5\;\Biggl(\int_{0}^{2\pi}d\theta\Biggr) \;\Biggl(\int_{1}^{2}r^{-2}dr\Biggr) \;\Biggl(\int_{0}^{\pi}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi\Biggr).
Calculamos primeiro
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi, \qquad \int_{1}^{2}r^{-2}dr = \bigl[-r^{-1}\bigr]_{1}^{2} = -\tfrac12 +1 = \tfrac12.
Logo até aqui temos 5\cdot2\pi\cdot\tfrac12 =5\pi.

Passo 4

Falta a parte em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Fazendo u=\cos\varphi, du=-\sin\varphi\,d\varphi, os limites vão de u(0)=1 a u(\pi)=-1:
\int_{0}^{\pi}\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi =-\int_{1}^{-1}u^2\,du =\int_{-1}^{1}u^2\,du =\frac{2}{3}.

Passo 5

Multiplicando tudo:
Q =5\pi \times \frac{2}{3} = \frac{10\pi}{3}.

Resposta

\displaystyle Q = \frac{10\pi}{3}\text{ C}

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