Um anel de cobre tem exatamente 1 , 0 0 0 0 0 c m de diâmetro à temperatura de 0^circ C. Uma esfera de alumínio tem exatamente 1,00200 cm de diâmetro à 100^circ C. A esfera é colocada na parte superior do anel, permitindo que os dois corpos adquiram equilíbrio térmico, não havendo perdas de calor para a vizinhança. A esfera atravessa o anel tão logo atinge o equilíbrio térmico. alphaAl=24 times 10^-6 ^circ C^-1 ; alphaCu=1,7 times 10^-5 ^circ C^-1 ; cAl=0,91 J / gK ; cCu=0,39 J / gK
a) Calcule a temperatura de equilíbrio entre a esfera e o anel.
b) Qual é a razão entre a massa da esfera e a massa do anel?

Passo 1

O problema envolve dois fenômenos: a dilatação térmica linear (para igualar o diâmetro do anel de cobre e da esfera de alumínio na temperatura de equilíbrio) e a calorimetria (para relacionar as massas via conservação de energia). Vamos usar: diâmetro inicial do anel em 0 °C DCu,0=1,00000,cm, diâmetro inicial da esfera em 100 °C DAl,100=1,00200,cm, coeficientes de dilatação linear alphaCu=1,7times10^-5,^circC^-1 e alphaAl=2,4times10^-5,^circC^-1, e capacidades térmicas cCu=0,39,J/(g,K), cAl=0,91,J/(g,K).

Passo 2

Igualando os diâmetros na temperatura de equilíbrio T:
DCu(T)=DCu,0l[1+alphaCu(T-0)r],
DAl(T)=DAl,100l[1+alphaAl(T-100)r]
Impondo DCu(T)=DAl(T) e substituindo valores:
1,00000l(1+1,7times10^-5Tr)=1,00200l[1+2,4times10^-5(T-100)r]
Resolvendo essa equação encontra-se
Tapprox57,4,^circC

Passo 3

Pela conservação de energia (sem perdas): o calor perdido pela esfera vai para o anel:
QAl=mAl,cAl(100-T),
QCu=mCu,cCu(T-0)
Impondo QAl=QCu
mAl,cAl(100-T)=mCu,cCu,T
e, daí, a razão das massas:
mAlmCu=cCu,TcAl(100-T)

Passo 4

Substituindo T=57,4,^circC,;cCu=0,39,;cAl=0,91:
mAlmCu=0,39times57,40,91times(100-57,4)approx0,579

Resposta

Temperatura de equilíbrio: 57,4 °C; razão das massas mAl/mCuapprox0,579.

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