Um anel no espaço está submetido a três forças tensionais nos fios que o seguram:
  • Força T1 de 40 N ao longo da direção (2,-3,1)
  • Força T2 de 30 N ao longo da direção (-1,2,2)
  • Força T3 ao longo da direção (1,1,1), cuja magnitude T3 é desconhecida
    Determine T3 para que o sistema esteja em equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: temos um anel no espaço preso por três fios com tensões
  • T₁ = 40 N ao longo de (2, –3, 1)
  • T₂ = 30 N ao longo de (–1, 2, 2)
  • T₃ (desconhecido) ao longo de (1, 1, 1)
O conteúdo aqui é equilíbrio de forças em 3D. Pra resolver, precisamos:
  1. Converter cada direção num vetor unitário.
  2. Escrever cada força como vezes seu vetor unitário.
  3. Impor ∑F = 0 (equilíbrio).
  4. Resolver a equação para achar .

Passo 2

Primeiro achamos os vetores unitários:
– Para |,(2,-3,1)| = raiz2^2+(-3)^2+1^2 = raiz14, u1 = 1raiz14(2,-3,1) na direção |,( -1,2,2)| = 3, u2 = 13(-1,2,2) :
|,(1,1,1)| = raiz3, u3 = 1raiz3(1,1,1)
– Para em :
– Para em :

Passo 3

Agora expressamos T1 = 40,u1 = 40cdot1raiz14(2,-3,1) = l(tfrac80raiz14,,-tfrac120raiz14,,tfrac40raiz14r), e T2 = 30,u2 = 30cdot13(-1,2,2) = (-10,,20,,20) em componentes:
E

Passo 4

Equilíbrio pede
T1 + T2 + T3 = 0
Projeta em cada eixo (x, y, z):
  1. Eixo x: l(tfrac80raiz14 -10r) +l(-tfrac120raiz14 +20r) +l(tfrac40raiz14 +20r) +3,tfracT3raiz3 =0
  2. Eixo y: 30 ;+; 3,T3raiz3 = 0 Longrightarrow 3,T3raiz3 = -30 Longrightarrow T3 = -10raiz3
  3. Eixo z: boxedT3 = 10raiz3 N
Em teoria as três devem dar o mesmo valor de . Se somarmos as três equações:
Note que e , então
O sinal “–” indica que, pra equilibrar, a tensão no fio 3 ficaria no sentido oposto a . Como tensão é magnitude, tomamos

Resposta

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