Um bloco está suspenso por três cabos presos nos pontos A(0,0,0), B(4,0,3), C(0,5,0) e D(0,0,6). O bloco tem massa 50 kg . Determine as tensões nos cabos para que o bloco permaneça em equilíbrio.

Passo 1

Então, olha só o que o exercício tá pedindo:
Um bloquinho de massa 50 kg tá pendurado por três cabos que vão do ponto D(0,0,6) até os pontos de apoio A(0,0,0), B(4,0,3) e C(0,5,0). A ideia é achar a tensão em cada cabo pra que o bloco fique parado, ou seja, em equilíbrio.
Conteúdo que vamos usar: equilíbrio de forças em 3D (vetores) e como achar versores (direção unitária) de cada cabo. Não te assusta, vou explicar tudo de boas.

Passo 2

Primeiro, a força que puxa o bloco pra baixo é o peso:
W = m,g = 50;kgtimes9,8;m/s^2 = 490;N
Representando em vetor (no eixo z negativo, pois peso “puxa pra baixo”):
vec W = (0,,0,,-490);N

Passo 3

Agora vamos achar os vetores que vão do bloco (em D) até cada apoio (A, B, C) e depois dividir pelo comprimento pra virar versor.
  1. De D até A:
vec rA = A - D = (0,0,0) - (0,0,6) = (0,,0,,-6)
Comprimento |vec rA|=6, então o versor
hat uA = vec rA6 = (0,,0,,-1)
  1. De D até B:
vec rB = B - D = (4,0,3) - (0,0,6) = (4,,0,,-3)
|vec rB|=raiz4^2+0^2+(-3)^2=5, logo
hat uB = l(tfrac45,,0,,-tfrac35r)
  1. De D até C:
vec rC = C - D = (0,5,0) - (0,0,6) = (0,,5,,-6)
|vec rC|=raiz0^2+5^2+(-6)^2=raiz61, então
hat uC = l(0,;tfrac5raiz61,;-tfrac6raiz61r)

Passo 4

Chama as tensões de TA, TB e TC. Em equilíbrio, a soma vetorial das tensões mais o peso dá zero:
TA,hat uA + TB,hat uB + TC,hat uC + vec W = vec0
Ou seja
TA,(0,0,-1)+TBl(tfrac45,0,-tfrac35r)+TCl(0,tfrac5raiz61,-tfrac6raiz61r)+(0,0,-490)=(0,0,0)
Separando em componentes:
x) ;tfrac45,TB = 0
y) ;tfrac5raiz61,TC = 0
z) -,TA ;-;tfrac35,TB;-;tfrac6raiz61,TC ;-;490 = 0

Passo 5

Das equações em x e y vem direto:
TB=0, TC=0
Substituindo na z:
-TA -0 -0 -490=0Longrightarrow TA=490;N

Resposta

Tensão no cabo DA: TA=490;N.
Tensão nos cabos DB e DC: TB=0,;TC=0 (eles ficam frouxos).

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