Um anel metálico fino tem raio R e possui carga eleŕica igual a +Q. Mostre que uma partícula carregada de massa m, que possui carga igual a -q, tem período igual a
T=2 pi raiz4 pi varepsilon0 m R^3q Q
Considere que no movimento inicial a partícula estava em repouso em um ponto no eixo central do anel, a uma distância x ll R de seu centro. Considere o anel fixo.

Passo 1

O enunciado descreve um anel metálico fino de raio R e carga total +Q. Uma partícula de massa m e carga -q é colocada, em repouso, no eixo do anel a uma pequena distância xll R do centro. O objetivo é mostrar que, para pequenas oscilações, o movimento é harmônico simples e calcular seu período. Vamos usar (i) a expressão do campo elétrico no eixo de um anel carregado e (ii) a aproximação para xll R.

Passo 2

O campo elétrico produzido pelo anel, no ponto do eixo a uma distância x do centro, aponta ao longo do eixo e tem módulo dado por
E(x)=14pivarepsilon0;Q,xl(R^2+x^2r)^3/2

Passo 3

A força sobre a partícula de carga -q é
F = -q,E(x) =-14pivarepsilon0;q,Q,xl(R^2+x^2r)^3/2
Pela segunda lei de Newton,
m;d^2xdt^2=F =-14pivarepsilon0;q,Q,xl(R^2+x^2r)^3/2

Passo 4

Para xll R podemos aproximar l(R^2+x^2r)^3/2approx R^3. Assim
m;d^2xdt^2 approx -q,Q4pivarepsilon0,R^3;x Longrightarrow d^2xdt^2 + omega^2x = 0
com
omega^2=q,Q4pivarepsilon0,m,R^3

Passo 5

Para um movimento harmônico simples, o período é T=2pi/omega. Logo
T = 2pi raiz4pivarepsilon0,m,R^3q,Q

Resposta

T=2 pi raiz4 pi varepsilon0 m R^3q Q

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