Um anel de raio
possui uma densidade linear de carga não uniforme
. Determine o campo elétrico no centro do anel.
Passo 1
O enunciado pede o campo elétrico no centro de um anel de raio
cuja densidade linear de carga varia com o ângulo segundo
.
Informações dadas e objetivo:
Informações dadas e objetivo:
- Raio do anel:
.\n - Densidade linear de carga (função do ângulo):
.\n - Ponto onde queremos o campo: o centro do anel (origem do sistema de coordenadas).\n
- Pedido: calcular o vetor
no centro do anel.
Passo 2
Escolhemos um sistema de coordenadas no plano do anel: o anel está no plano
e o ângulo polar
é medido a partir do eixo
positivo (ponto com coordenadas
corresponde a
).
Tomamos um elemento de comprimento do anel localizado em ângulo
. A carga desse elemento é
Tomamos um elemento de comprimento do anel
A lei de Coulomb para o campo produzido por uma carga pontual diz que o campo de
à distância
tem magnitude
onde
é a permissividade do vácuo. Aqui o ponto onde avaliamos (o centro) fica a distância
do elemento
.
Passo 3
Direção do campo devido a
: o vetor que liga o elemento ao centro aponta radialmente para dentro; convenientemente podemos expressar o versor radial (do centro para o elemento) como
O campo no centro devido a
aponta na direção oposta a
(porque o campo gerado por uma carga positiva afasta o teste, mas como o elemento está fora do centro o vetor do elemento até o centro tem sentido contrário); assim o elemento de campo vetorial é
Substituindo
,
Simplificando o fator
,
Passo 4
Agora integramos
ao longo de todo o anel,
de
a
. Componentes:
Passo 5
Calcule as integrais explicitamente. Para
:
pois
tem integral nula em um período completo. Logo
.
Para
usamos
:
Portanto
Passo 6
Reunindo componentes, o campo elétrico no centro é puramente ao longo do eixo
negativo (se
):
Interpretação rápida: a densidade
concentra carga positiva no lado
(direção
) e carga negativa no lado
(direção
), produzindo um campo resultante apontando para
quando
.