Um anel de raio R possui uma densidade linear de carga não uniforme \lambda=\lambda_{0} \cos \theta. Determine o campo elétrico no centro do anel.

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico no centro de um anel de raio \,R\, cuja densidade linear de carga varia com o ângulo segundo \,\lambda(\theta)=\lambda_{0}\cos\theta\,.
Informações dadas e objetivo:
  • Raio do anel: \,R.\n
  • Densidade linear de carga (função do ângulo): \,\lambda(\theta)=\lambda_{0}\cos\theta\,.\n
  • Ponto onde queremos o campo: o centro do anel (origem do sistema de coordenadas).\n
  • Pedido: calcular o vetor \,\mathbf{E}\, no centro do anel.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas no plano do anel: o anel está no plano xy e o ângulo polar \theta é medido a partir do eixo x positivo (ponto com coordenadas (R,0) corresponde a \theta=0).
Tomamos um elemento de comprimento do anel \,dl=R\,d\theta\, localizado em ângulo \theta. A carga desse elemento é
dq=\lambda(\theta)\,dl=\lambda_{0}\cos\theta\;R\,d\theta.
A lei de Coulomb para o campo produzido por uma carga pontual diz que o campo de dq à distância r tem magnitude
dE=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{r^{2}},
onde \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Aqui o ponto onde avaliamos (o centro) fica a distância r=R do elemento dq.

Passo 3

Direção do campo devido a dq: o vetor que liga o elemento ao centro aponta radialmente para dentro; convenientemente podemos expressar o versor radial (do centro para o elemento) como
\hat{\mathbf{r}}(\theta)=\cos\theta\,\hat{\mathbf{i}}+\sin\theta\,\hat{\mathbf{j}}.
O campo no centro devido a dq aponta na direção oposta a \hat{\mathbf{r}}(\theta) (porque o campo gerado por uma carga positiva afasta o teste, mas como o elemento está fora do centro o vetor do elemento até o centro tem sentido contrário); assim o elemento de campo vetorial é
d\mathbf{E}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{dq}{R^{2}}\;\hat{\mathbf{r}}(\theta).
Substituindo dq,
d\mathbf{E}=-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{\lambda_{0}\cos\theta\;R\,d\theta}{R^{2}}\big(\cos\theta\,\hat{\mathbf{i}}+\sin\theta\,\hat{\mathbf{j}}\big).
Simplificando o fator R,
d\mathbf{E}=-\frac{\lambda_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}R}\big(\cos^{2}\theta\,\hat{\mathbf{i}}+\cos\theta\sin\theta\,\hat{\mathbf{j}}\big)d\theta.

Passo 4

Agora integramos d\mathbf{E} ao longo de todo o anel, \theta de 0 a 2\pi. Componentes:
E_{x}=-\frac{\lambda_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}R}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta, \qquad E_{y}=-\frac{\lambda_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}R}\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.

Passo 5

Calcule as integrais explicitamente. Para E_{y}:
\int_{0}^{2\pi}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\sin(2\theta)\,d\theta=0,
pois \sin(2\theta) tem integral nula em um período completo. Logo E_{y}=0.
Para E_{x} usamos \cos^{2}\theta=(1+\cos 2\theta)/2:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta=\int_{0}^{2\pi}\frac{1+\cos 2\theta}{2}\,d\theta =\frac{1}{2}\Big[ \theta+\frac{\sin 2\theta}{2}\Big]_{0}^{2\pi} =\frac{1}{2}\cdot 2\pi=\pi.
Portanto
E_{x}=-\frac{\lambda_{0}}{4\pi\varepsilon_{0}R}\cdot\pi=-\frac{\lambda_{0}}{4\varepsilon_{0}R}.

Passo 6

Reunindo componentes, o campo elétrico no centro é puramente ao longo do eixo x negativo (se \lambda_{0}>0):
\mathbf{E}=-\frac{\lambda_{0}}{4\varepsilon_{0}R}\,\hat{\mathbf{i}}.
Interpretação rápida: a densidade \lambda(\theta)=\lambda_{0}\cos\theta concentra carga positiva no lado \theta\approx 0 (direção +x) e carga negativa no lado \theta\approx\pi (direção -x), produzindo um campo resultante apontando para -x quando \lambda_{0}>0.

Resposta

\displaystyle \mathbf{E}=-\dfrac{\lambda_{0}}{4\varepsilon_{0}R}\,\hat{\mathbf{i}}

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