Três vetores tridimensionais são expressos em relação a um sistema de referência ortogonal, da seguinte forma:
\left\{\begin{array}{l} \vec{A}=4 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k} \\\ \vec{B}=-3 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k} \\\ \vec{C}=-3 \hat{j}+\hat{k} \end{array}\right.
Sendo as componentes de cada vetor dados em metros, determine a expressão vetorial, o módulo e a direção que o vetor resultante forma com o semi-eixo positivo de x.

Passo 1

O enunciado dá três vetores no espaço tridimensional (componentes em metros) e pede três coisas: a expressão vetorial do vetor resultante, o módulo desse vetor e a direção que ele forma com o semi-eixo positivo de x.
Informações fornecidas (pegar do enunciado):
  • \vec{A}=4\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}.
  • \vec{B}=-3\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}.
  • \vec{C}=-3\hat{j}+\hat{k}.
O que é pedido:
  1. A expressão vetorial de \vec{R}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}.
  2. O módulo |\vec{R}|.
  3. O ângulo \theta entre \vec{R} e o semi-eixo positivo de x (ou seja, o ângulo entre \vec{R} e o vetor unitário \hat{i}).

Passo 2

Primeiro vamos somar componente a componente para obter \vec{R}=\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}.
Explicando: um vetor em base ortogonal é representado por suas componentes ao longo de \hat{i} (eixo x), \hat{j} (eixo y) e \hat{k} (eixo z). A soma de vetores é feita somando separadamente as componentes correspondentes.
Pegando as componentes do enunciado:
  • Componente em x: A_x=4, B_x=-3, C_x=0 (notei que \vec{C} não tem termo em \hat{i}, então sua componente x é 0).
  • Componente em y: A_y=-1, B_y=2, C_y=-3.
  • Componente em z: A_z=2, B_z=3, C_z=1.
Agora somo cada coordenada:
R_x = A_x + B_x + C_x = 4 + (-3) + 0 = 1,
R_y = A_y + B_y + C_y = (-1) + 2 + (-3) = -2,
R_z = A_z + B_z + C_z = 2 + 3 + 1 = 6.
Portanto a expressão vetorial é
\vec{R}=1\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k}.

Passo 3

Agora calculamos o módulo de \vec{R}.
Conceito usado: o módulo (norma) de um vetor \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) em coordenadas cartesianas é dado pela raiz quadrada da soma dos quadrados das componentes:
|\vec{v}|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Aqui v_x,v_y,v_z são as componentes escalares nas direções \hat{i},\hat{j},\hat{k}.
Aplicando a fórmula a \vec{R} com R_x=1, R_y=-2, R_z=6:
|\vec{R}|=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+6^{2}}=\sqrt{1+4+36}=\sqrt{41}.
Como valor numérico aproximado (útil na prova se pedirem):
|\vec{R}|\approx\sqrt{41}\approx6,4031\\ \text{m}.

Passo 4

Agora determinamos o ângulo \theta entre \vec{R} e o semi-eixo positivo de x.
Conceito usado: o ângulo \theta entre dois vetores \vec{u} e \vec{v} é dado por
\cos\theta=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\,|\vec{v}|},
onde \vec{u}\cdot\vec{v} é o produto escalar. Para o ângulo com o eixo x usamos \vec{v}=\hat{i}, que é o vetor unitário em x com módulo 1. O produto escalar \vec{R}\cdot\hat{i} é simplesmente a componente x de \vec{R}: \vec{R}\cdot\hat{i}=R_x.
Logo
\cos\theta=\frac{R_x}{|\vec{R}|}.
Substituindo R_x=1 e |\vec{R}|=\sqrt{41}:
\cos\theta=\frac{1}{\sqrt{41}}.
Para obter \theta calculamos o arco cosseno:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{41}}\right).
Valor numérico (aproximado):
\theta\approx\operatorname{arccos}(0,15617\ldots)\approx80,99^\circ\approx81,0^\circ,
ou em radianos
\theta\approx1,414\\ \text{rad}.

Passo 5

Interpretação final — resumo prático (como escrever na prova):
  • Some componentes para obter a forma vetorial.
  • Use a fórmula da norma para o módulo.
  • Use produto escalar com \hat{i} para o ângulo com o eixo x.

Resposta

\vec{R}=1\hat{i}-2\hat{j}+6\hat{k}
|\vec{R}|=\sqrt{41}\\ \text{m}\approx6,4031\\ \text{m}
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{41}}\right)\approx80,99^\circ\\ (\approx1,414\\ \text{rad})

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