No modelo de Bohr do átomo de hidrogênio, o elétron orbita o próton a uma distância de 5,29 \times 10^{-11} \mathrm{~m}. Compare a magnitude da força elétrica com a força gravitacional entre eles.

Passo 1

O enunciado dá a distância entre o elétron e o próton no modelo de Bohr e pede que a gente compare as magnitudes da força elétrica com a força gravitacional entre eles.
Informações fornecidas:
  • Distância: \displaystyle r = 5,29\times10^{-11}\\ \mathrm{m} (raio de Bohr).
O que é pedido:
  • Comparar as magnitudes da força elétrica e da força gravitacional entre o elétron e o próton — isto é, calcular as duas forças e/ou a razão entre elas.

Passo 2

Apresentar as leis físicas que vamos usar (e explicar cada símbolo).
Lei de Coulomb (força elétrica entre duas cargas puntiformes):
\displaystyle F_{\text{e}} = k\,\frac{q_1 q_2}{r^2}.
Onde:
  • \displaystyle F_{\text{e}} é a força elétrica (módulo).
  • \displaystyle k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} é a constante eletrostática no vácuo (aprox. 8,9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\;m^2/C^2}).
  • \displaystyle q_1,q_2 são as cargas (no nosso caso q_1=+e do próton e q_2=-e do elétron; usamos o módulo das cargas).
  • \displaystyle r é a separação entre as cargas.
Lei da gravitação universal de Newton (força gravitacional entre duas massas puntiformes):
\displaystyle F_{\text{g}} = G\,\frac{m_1 m_2}{r^2}.
Onde:
  • \displaystyle F_{\text{g}} é a força gravitacional (módulo).
  • \displaystyle G é a constante gravitacional ( 6,67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}).
  • \displaystyle m_1,m_2 são as massas (aqui m_1=m_{\text{p}}, massa do próton; m_2=m_{\text{e}}, massa do elétron).
  • \displaystyle r é a mesma separação.
Constantes numéricas que vamos usar (valores padrão):
  • carga elementar: \displaystyle e = 1,602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C},
  • massa do elétron: \displaystyle m_{\text{e}} = 9,10938356\times10^{-31}\\ \mathrm{kg},
  • massa do próton: \displaystyle m_{\text{p}} = 1,67262192369\times10^{-27}\\ \mathrm{kg},
  • constante eletrostática: \displaystyle k = 8,9875517923\times10^{9}\\ \mathrm{N\;m^{2}/C^{2}},
  • constante gravitacional: \displaystyle G = 6,67430\times10^{-11}\\ \mathrm{m^{3}\,kg^{-1}\,s^{-2}}.
Dica didática rápida: ambas as forças dependem de 1/r^2. Ao calcular a razão \displaystyle F_{\text{e}}/F_{\text{g}} essa dependência em r cancela, o que facilita muito o cálculo da comparação.

Passo 3

Calcular a força elétrica \displaystyle F_{\text{e}}.
Escrevendo a fórmula e substituindo:
\displaystyle F_{\text{e}} = k\,\frac{e^2}{r^2}.
Calculemos passo a passo os termos numéricos (arredondando convenientemente para manter clareza):
  • Primeiro e^2:
\displaystyle e^2 = (1,602176634\times10^{-19})^2 \approx 2,5669699\times10^{-38}\\ \mathrm{C^2}.
  • Depois k\,e^2:
\displaystyle k\,e^2 \approx 8,9875517923\times10^{9}\times 2,5669699\times10^{-38} \approx 2,307\times10^{-28}.
  • Em seguida r^2:
\displaystyle r^2 = (5,29\times10^{-11})^2 = 2,79841\times10^{-21}\\ \mathrm{m^2}.
  • Agora a força:
\displaystyle F_{\text{e}} \approx \frac{2,307\times10^{-28}}{2,79841\times10^{-21}} \approx 8,24\times10^{-8}\\ \mathrm{N}.
Explicação curta: o número resultante significa que a força elétrica de atração entre elétron e próton no átomo de hidrogênio (no modelo de Bohr) tem magnitude da ordem de 10^{-7} a 10^{-8} newton — muito pequena em termos cotidianos, mas enorme em comparação com forças gravitacionais entre partículas.

Passo 4

Calcular a força gravitacional \displaystyle F_{\text{g}}.
Escrevendo a fórmula e substituindo:
\displaystyle F_{\text{g}} = G\,\frac{m_{\text{e}}\,m_{\text{p}}}{r^2}.
Passos numéricos:
  • Primeiro o produto de massas:
\displaystyle m_{\text{e}}m_{\text{p}} = (9,10938356\times10^{-31})(1,67262192369\times10^{-27}) \approx 1,5236\times10^{-57}\\ \mathrm{kg^2}.
  • Depois G\,m_{\text{e}}m_{\text{p}}:
\displaystyle G\,m_{\text{e}}m_{\text{p}} \approx 6,67430\times10^{-11}\times 1,5236\times10^{-57} \approx 1,0168\times10^{-67}.
  • Dividindo por r^2 (mesmo valor usado antes):
\displaystyle F_{\text{g}} \approx \frac{1,0168\times10^{-67}}{2,79841\times10^{-21}} \approx 3,63\times10^{-47}\\ \mathrm{N}.
Interpretação: a força gravitacional entre elétron e próton é absurdamente pequena — da ordem de 10^{-47} newton.

Passo 5

Calcular a razão \displaystyle \frac{F_{\text{e}}}{F_{\text{g}}} (comparação direta). Como explicado, o fator r^2 cancela, então podemos usar a forma simplificada:
\displaystyle \frac{F_{\text{e}}}{F_{\text{g}}}=\frac{k\,e^2}{G\,m_{\text{e}}m_{\text{p}}}.
Substituindo os valores que já calculamos:
\displaystyle \frac{F_{\text{e}}}{F_{\text{g}}}\approx \frac{2,307\times10^{-28}}{1,0168\times10^{-67}} \approx 2,27\times10^{39}.
Significado: a força elétrica entre próton e elétron é da ordem de 10^{39} vezes maior que a força gravitacional entre eles. Em palavras: a atração elétrica domina completamente a atração gravitacional entre partículas elementares como próton e elétron.

Passo 6

Resumo físico e motivação para prova (dica amigável):
  • Resultado numérico: as forças diferem por dezenas de ordens de magnitude; não é preciso decorar o número exato, mas é útil lembrar que a força elétrica é da ordem de 10^{39} vezes a gravitacional para um par elétron–próton.
  • Em prova: basta reconhecer que se pedir razão entre Coulomb e gravitação, r^2 cancela e dá para calcular rapidamente usando apenas constantes (isso economiza tempo).
  • Força elétrica ≫ força gravitacional explica por que, em escala atômica, efeitos eletrostáticos determinam as ligações químicas e a gravidade é irrelevante.

Resposta

\displaystyle F_{\text{e}}\approx 8,24\times10^{-8}\\ \mathrm{N}
\displaystyle F_{\text{g}}\approx 3,63\times10^{-47}\\ \mathrm{N}
\displaystyle \frac{F_{\text{e}}}{F_{\text{g}}}\approx 2,27\times10^{39}

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