1. O anestésico local novocaína ( \left.\left[\mathrm{HC}_{13} \mathrm{H}_{20} \mathrm{~N}_{2} \mathrm{O}_{2}\right]^{+} \mathrm{Cl}^{-}\right)é o sal cloridrato de uma base orgânica, a procaína \left(\mathrm{C}_{13} \mathrm{H}_{20} \mathrm{~N}_{2} \mathrm{O}_{2}\right).
\mathrm{C}_{13} \mathrm{H}_{20} \mathrm{~N}_{2} \mathrm{O}_{2(\mathrm{aq})}+\mathrm{HCl}_{(\mathrm{aq})} \rightarrow\left[\mathrm{HC}_{13} \mathrm{H}_{20} \mathrm{~N}_{2} \mathrm{O}_{2}\right]^{+} \mathrm{Cl}_{(\mathrm{aq})}^{-}
O valor de pKa da novocaína é 8,85 . Qual é o pH de uma solução 0,0015 mol. \mathrm{L}^{-1} de novocaína?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (tudo aqui foi retirado do enunciado):
  • A substância em solução é o íon protonado da procaína, \left[\mathrm{H}\mathrm{C}_{13}\mathrm{H}_{20}\mathrm{N}_{2}\mathrm{O}_{2}\right]^+, com concentração inicial C=0{,}0015\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • O valor de \mathrm{p}K_a do ácido conjugado (ou seja, da forma protonada) é \mathrm{p}K_a=8{,}85.
O que o problema pede: calcular o \mathrm{pH} da solução 0{,}0015\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} desse sal (ou seja, do íon \left[\mathrm{H}B\right]^+).

Passo 2

Entendendo a química envolvida (explicação didática):
  • O íon protonado \left[\mathrm{H}B\right]^+ se comporta como um ácido segundo a reação de equilíbrio
\left[\mathrm{H}B\right]^+ \rightleftarrows B + \mathrm{H}^+.
  • A constante de acidez para essa reação é K_a, definida por
K_a=\frac{[\mathrm{H}^+][B]}{[\left[\mathrm{H}B\right]^+]}.
  • A relação entre K_a e \mathrm{p}K_a é
\mathrm{p}K_a = -\log K_a \qquad\Rightarrow\qquad K_a = 10^{-\mathrm{p}K_a}.
Isso significa que, conhecendo \mathrm{p}K_a, podemos obter K_a e então calcular quanto o ácido protonado se dissocia, produzindo \mathrm{H}^+ que determina o \mathrm{pH}.

Passo 3

Montando a equação de equilíbrio e a aproximação usual:
  • Inicialmente, antes de qualquer dissociação, temos
[\left[\mathrm{H}B\right]^+]_0 = C,\qquad [B]_0 = 0,\qquad [\mathrm{H}^+]_0 \approx 0.
  • Se a dissociação for x, então no equilíbrio
[\mathrm{H}^+]=x,\qquad [B]=x,\qquad [\left[\mathrm{H}B\right]^+]=C-x.
  • Substituindo na definição de K_a:
K_a=\frac{x\cdot x}{C-x}=\frac{x^2}{C-x}.
  • Se x\ll C (aproximação válida para ácidos fracos em concentrações razoáveis), simplifica para
K_a\approx\frac{x^2}{C}\quad\Rightarrow\quad x\approx\sqrt{K_a\,C}.
  • O \mathrm{pH} é então
\mathrm{pH}=-\log [\mathrm{H}^+] = -\log x.

Passo 4

Cálculo numérico de K_a a partir de \mathrm{p}K_a:
K_a = 10^{-\mathrm{p}K_a} = 10^{-8{,}85}.
Vamos calcular aproximadamente:
10^{-8{,}85}=10^{-8}\times 10^{-0{,}85}\approx 1{,}00\times 10^{-8}\times 0{,}14125 \approx 1{,}41\times 10^{-9}.
Portanto
K_a \approx 1{,}41\times 10^{-9}.

Passo 5

Calcular a concentração de [\mathrm{H}^+] pela aproximação:
x\approx\sqrt{K_a\,C}=\sqrt{(1{,}41\times 10^{-9})\times(1{,}5\times 10^{-3})}.
Fazendo a multiplicação interna:
(1{,}41\times 10^{-9})\times(1{,}5\times 10^{-3})=2{,}1175\times 10^{-12}.
Agora a raiz quadrada:
x\approx\sqrt{2{,}1175\times 10^{-12}}\approx 1{,}456\times 10^{-6}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.

Passo 6

Calcular o \mathrm{pH}:
\mathrm{pH}=-\log(1{,}456\times 10^{-6})=6-\log(1{,}456)\approx 6-0{,}162\approx 5{,}84.
Também pode-se obter o mesmo resultado mais diretamente pela fórmula aproximada para ácidos fracos
\mathrm{pH}\approx\frac{1}{2}\bigl(\mathrm{p}K_a-\log C\bigr),
que fornece
\mathrm{pH}\approx\frac{1}{2}\bigl(8{,}85- \log(1{,}5\times 10^{-3})\bigr) =\frac{1}{2}\bigl(8{,}85-(-2{,}8239)\bigr)\approx 5{,}84.

Passo 7

Verificação da aproximação x\ll C:
\frac{x}{C}\approx\frac{1{,}456\times 10^{-6}}{1{,}5\times 10^{-3}}\approx 9{,}7\times 10^{-4}\equiv 0{,}097\%.
Como isso é muito menor que 5\%, a aproximação C-x\approx C é totalmente válida e o resultado é confiável.

Passo 8

Interpretação rápida e incentivo: o valor calculado indica que a solução do sal da procaína é ligeiramente ácida ( \mathrm{pH} menor que 7), o que é esperado para soluções do íon protonado de uma base fraca. Segue tranquilo: passos e fórmulas usados são padrão para esse tipo de problema — com isso você resolve rapidamente em prova.

Resposta

\mathrm{pH}=5{,}84

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