Um ângulo agudo de um triângulo retângulo ABC , reto em C , é igual a alpha. Sabe-se que a hipotenusa desse triângulo e os prolongamentos de CA e CB são tangentes a uma circunferência de raio R . Desse modo o comprimento da hipotenusa é igual a: R raiz3sen(alpha2) cos (45^circ-alpha2)

Passo 1

O enunciado apresenta um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C e um ângulo agudo alpha. A hipotenusa AB e as prolongações de CA e CB são tangentes a uma circunferência de raio R. Para resolver, utilizaremos a fórmula do ex-raio do triângulo relativo ao vértice C (o círculo excirculo que tangencia o lado oposto AB e as extensões de CA e CB)), juntamente com identidades trigonométricas de ângulo metade para simplificar a expressão final.

Passo 2

Começamos nomeando as medidas dos catetos como a=BC e b=CA, e a hipotenusa como c=AB. A área do triângulo é De e seu semiperímetro é s=tfraca+b+c2. O ex-raio em C é dado por
rC=De
Como esse ex-raio é exatamente R, temos
R=a,ba+b-c
.

Passo 3

Expressamos os catetos em função de c e do ângulo alpha. Tomando, por exemplo, ang<= A=alpha, vale
a=BC=c,sinalpha,
b=CA=c,cosalpha
Substituindo em R=tfraca,ba+b-c obtemos
R=c^2sinalphacosalphac(sinalpha+cosalpha-1)
que simplifica para
c=R,sinalpha+cosalpha-1sinalpha,cosalpha

Passo 4

Em seguida, utilizamos as identidades de ângulo metade:
sinalpha=2sinalpha2cosalpha2,
cosalpha=cos^2alpha2-sin^2alpha2,
e também
sinalpha+cosalpha-1=2sinalpha2l(cosalpha2-sinalpha2r),
sinalphacosalpha=2sinalpha2cosalpha2l(cos^2tfracalpha2-sin^2tfracalpha2r)
Depois de simplificar e cancelar fatores repetidos, chega-se a
c=Rcosalpha2l(cosalpha2+sinalpha2r)

Passo 5

Por fim, aplicamos a soma de seno e cosseno em ângulo metade:
cosalpha2+sinalpha2=raiz2,cosl(45^circ-alpha2r)
e reorganizamos para obter exatamente a forma pedida no enunciado. Assim concluímos que a hipotenusa vale

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