Um ângulo agudo de um triângulo retângulo ABC , reto em C , é igual a
. Sabe-se que a hipotenusa desse triângulo e os prolongamentos de CA e CB são tangentes a uma circunferência de raio R . Desse modo o comprimento da hipotenusa é igual a:
Passo 1
O enunciado apresenta um triângulo retângulo ABC com ângulo reto em C e um ângulo agudo
. A hipotenusa
e as prolongações de
e
são tangentes a uma circunferência de raio
. Para resolver, utilizaremos a fórmula do ex-raio do triângulo relativo ao vértice C (o círculo excirculo que tangencia o lado oposto
e as extensões de
e
), juntamente com identidades trigonométricas de ângulo metade para simplificar a expressão final.
Passo 2
Começamos nomeando as medidas dos catetos como
e
, e a hipotenusa como
. A área do triângulo é
e seu semiperímetro é
. O ex-raio em C é dado por
Como esse ex-raio é exatamente
, temos
.
Passo 3
Expressamos os catetos em função de
e do ângulo
. Tomando, por exemplo,
, vale
Substituindo em
obtemos
que simplifica para
Passo 4
Em seguida, utilizamos as identidades de ângulo metade:
e também
Depois de simplificar e cancelar fatores repetidos, chega-se a
Passo 5
Por fim, aplicamos a soma de seno e cosseno em ângulo metade:
e reorganizamos para obter exatamente a forma pedida no enunciado. Assim concluímos que a hipotenusa vale