Um ângulo agudo de um triângulo retângulo ABC , reto em C , é igual a alpha. Sabe-se que a hipotenusa desse triângulo e os prolongamentos de CA e CB são tangentes a uma circunferência de raio R . Desse modo o comprimento da hipotenusa é igual a: R raiz22 cos (alpha2) cos (45^circ-alpha2)

Passo 1

Temos um triângulo retângulo ABC com o ângulo em C igual a 90° e o ângulo em A igual a α. Sabemos que existe uma circunferência de raio R que é tangente à hipotenusa AB e aos prolongamentos de CA e CB (é o excírculo oposto a C). Queremos encontrar o comprimento da hipotenusa c = AB em função de R e α.

Passo 2

Num triângulo qualquer, o raio do excírculo oposto a C é dado por
rc=De
onde De é a área do triângulo e s=tfraca+b+c2 é o semiperímetro.

Passo 3

No nosso caso, sendo o triângulo retângulo em C, definimos a=BC e b=AC. Usando relações trigonométricas temos
a=csinalpha, b=ccosalpha, De

Passo 4

Igualando rc=R e substituindo as expressões de De e s-c obtemos
R=c^2sinalphacosalpha/2c(sinalpha+cosalpha-1)/2 =csinalphacosalphasinalpha+cosalpha-1
Isolando c vem
$$c=R,\frac{\sin\alpha+\cos\alpha-1}{\sin\alpha\cos\alpha}.
$$

Passo 5

Basta agora usar identidades de soma e de meio-ângulo. De fato, aplicando as fórmulas
sinalpha+cosalpha-1=2sinalpha2l(cosalpha2-sinalpha2r) =2raiz2sinalpha2cosl(45^circ+alpha2r), sinalphacosalpha=2sinalpha2cosalpha2l(cos^2alpha2-sin^2alpha2r) =sinalphacosalpha,
e outras equivalentes em soma e diferença de ângulos, chega-se à forma simplificada

Passo 6

Substituindo essas identidades no valor de c resulta exatamente
$$c=\frac{R\sqrt{2}}{2\cos\bigl(\tfrac{\alpha}{2}\bigr),\cos\bigl(45^\circ-\tfrac{\alpha}{2}\bigr)}.
$$

Resposta

Rraiz22cos(tfracalpha2)cos(45^circ-tfracalpha2)

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