Um ângulo agudo de um triângulo retângulo ABC , reto em C , é igual a
. Sabe-se que a hipotenusa desse triângulo e os prolongamentos de CA e CB são tangentes a uma circunferência de raio R . Desse modo o comprimento da hipotenusa é igual a:
Passo 1
Temos um triângulo retângulo ABC com o ângulo em C igual a 90° e o ângulo em A igual a α. Sabemos que existe uma circunferência de raio R que é tangente à hipotenusa AB e aos prolongamentos de CA e CB (é o excírculo oposto a C). Queremos encontrar o comprimento da hipotenusa c = AB em função de R e α.
Passo 2
Num triângulo qualquer, o raio do excírculo oposto a C é dado por
onde
Passo 3
No nosso caso, sendo o triângulo retângulo em C, definimos
e
. Usando relações trigonométricas temos
Passo 4
Igualando
e substituindo as expressões de
e
obtemos
Isolando
vem
$$c=R,\frac{\sin\alpha+\cos\alpha-1}{\sin\alpha\cos\alpha}.
$$
Passo 5
Basta agora usar identidades de soma e de meio-ângulo. De fato, aplicando as fórmulas
e outras equivalentes em soma e diferença de ângulos, chega-se à forma simplificada
Passo 6
Substituindo essas identidades no valor de
resulta exatamente
$$c=\frac{R\sqrt{2}}{2\cos\bigl(\tfrac{\alpha}{2}\bigr),\cos\bigl(45^\circ-\tfrac{\alpha}{2}\bigr)}.
$$