Um ângulo agudo de um triângulo retângulo ABC , reto em C , é igual a alpha. Sabe-se que a hipotenusa desse triângulo e os prolongamentos de CA e CB são tangentes a uma circunferência de raio R . Desse modo o comprimento da hipotenusa é igual a: R raiz3cos (alpha2) sen(45^circ-alpha2)

Passo 1

Resumo: temos um triângulo retângulo ABC com ang<= C=90^circ e ang<= A=alpha. A hipotenusa AB e as retas que contêm os catetos CA e CB são todas tangentes a um círculo de raio R. Vamos usar geometria analítica e depois identidades trigonométricas para encontrar AB em função de R e alpha.

Passo 2

Coloco o vértice C na origem e os catetos nos eixos: C=(0,0), A=(x,0), B=(0,y). Da reta AB vem y/x=tanalpha, e a hipotenusa vale AB=c=raizx^2+y^2=xcosalpha,

Passo 3

Como o círculo de centro (R,R) é tangente aos eixos, seu centro fica a distância R de cada um. A condição de tangência a AB é que a distância do ponto (R,R) à reta AB seja R. A equação de AB em forma normal é x/x0+y/y0=1 com x0=x, y0=y. Ao calcular essa distância e igualar a R, chega-se a
l|Rl(1+tanalphar)-xtanalphar|=Rcosalpha,

Passo 4

Desprezando o valor absoluto (escolhendo o sinal correto pela posição do centro) e isolando x, obtemos
x=R,1+tanalpha-secalphatanalpha,

Passo 5

Logo a hipotenusa fica
c=xcosalpha=R,1+tanalpha-secalphatanalpha,cosalpha,

Passo 6

Fazendo a identidade tanalpha=dfracsinalphacosalpha, secalpha=dfrac1cosalpha e simplificando, achamos
c=R,sinalpha+cosalpha-1sinalpha,cosalpha,

Passo 7

Finalmente, aplicando fórmulas de ângulo metade
sinalpha+cosalpha-1=2sinalpha2l(cosalpha2-sinalpha2r)=2raiz2,sinalpha2,sinl(45^circ-tfracalpha2r),
e
sinalphacosalpha=2sinalpha2,cosalpha2cosalpha,, e depois reorganizando os fatores, obtemos a forma final
AB=c=Rraiz3cosl(tfracalpha2r),sinl(45^circ-tfracalpha2r),

Resposta

AB=Rraiz3cosl(tfracalpha2r),sinl(45^circ-tfracalpha2r)

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