Um ângulo agudo de um triângulo retângulo ABC , reto em C , é igual a . Sabe-se que a hipotenusa desse triângulo e os prolongamentos de CA e CB são tangentes a uma circunferência de raio R . Desse modo o comprimento da hipotenusa é igual a:
Passo 1
Resumo: temos um triângulo retângulo com e . A hipotenusa e as retas que contêm os catetos e são todas tangentes a um círculo de raio . Vamos usar geometria analítica e depois identidades trigonométricas para encontrar em função de e .
Passo 2
Coloco o vértice na origem e os catetos nos eixos: , , . Da reta vem , e a hipotenusa vale
Passo 3
Como o círculo de centro é tangente aos eixos, seu centro fica a distância de cada um. A condição de tangência a é que a distância do ponto à reta seja . A equação de em forma normal é com , . Ao calcular essa distância e igualar a , chega-se a
Passo 4
Desprezando o valor absoluto (escolhendo o sinal correto pela posição do centro) e isolando x, obtemos
Fazendo a identidade tanalpha=dfracsinalphacosalpha, secalpha=dfrac1cosalpha e simplificando, achamos
c=R,sinalpha+cosalpha-1sinalpha,cosalpha,
Passo 7
Finalmente, aplicando fórmulas de ângulo metade
sinalpha+cosalpha-1=2sinalpha2l(cosalpha2-sinalpha2r)=2raiz2,sinalpha2,sinl(45^circ-tfracalpha2r),
e sinalphacosalpha=2sinalpha2,cosalpha2cosalpha,, e depois reorganizando os fatores, obtemos a forma final