A anidrase carbônica catalisa a reação de hidratação do dióxido de carbono a \mathrm{HCO}_{3}{ }^{-}no sangue humano. A importância desta enzima pode ser apreciada se consideramos que o tempo de meia vida para a reação de hidratação não catalisada do \mathrm{CO}_{2} dissolvido, em \mathrm{pH}=7, é de 10 s , extremamente lenta para garantir a respiração. Os parâmetros de Michalis-Menten para a reaçãocatalítica são: \mathrm{k}_{2}=6 \times 10^{5} \mathrm{~s}^{-1} e \mathrm{K}_{\mathrm{m}}=8 \times 10^{-3} \mathrm{~mol}^{-1}. Se a concentração de \mathrm{CO}_{2} fosse igual a 0,1 \mathrm{~mol} . \mathrm{L}^{-1}, qual seria a ordem de reação em relação ao \mathrm{CO}_{2} ? Qual seria o tempo de meia-vida, neste caso, se a concentração da enzima fosse igual a 10^{-6} mol.L { }^{-1}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados (pegos do enunciado):
  • Constante de velocidade catalítica (turnover): \mathrm{k}_{2}=6\times10^{5}\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Constante de Michaelis: \mathrm{K}_{\mathrm{m}}=8\times10^{-3}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
  • Concentração inicial de \mathrm{CO}_{2} (substrato): \left[\mathrm{CO}_{2}\right]_{0}=0,1\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
  • Concentração de enzima total: \left[\mathrm{E}\right]_{0}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}.
  • Informação contextual: a reação não catalisada tem meia-vida de 10\\ \mathrm{s} (só para comparação).
O enunciado pede:
  1. Determinar a ordem da reação em relação ao \mathrm{CO}_{2} (ou seja, se a velocidade depende linearmente, não depende, etc., da concentração de \mathrm{CO}_{2} nas condições dadas).
  2. Calcular o tempo de meia-vida (t1/2) sob as condições dadas, com a concentração de enzima indicada.

Passo 2

Explicação didática do modelo que vamos usar: equação de Michaelis–Menten e como dela inferir a ordem efetiva.
A equação de Michaelis–Menten para a velocidade inicial v é
v=\dfrac{\mathrm{k}_{2}\,[\mathrm{E}]_{0}\,[S]}{\mathrm{K}_{\mathrm{m}}+[S]},
onde:
  • [S] é a concentração do substrato (aqui [\mathrm{CO}_{2}]),
  • [\mathrm{E}]_{0} é a concentração total de enzima (assumimos que a enzima está em forma ativa),
  • \mathrm{k}_{2} é a constante de catálise (turnover) em \mathrm{s}^{-1},
  • \mathrm{K}_{\mathrm{m}} é a constante de Michaelis (mesmas unidades de concentração que [S]).
Limites importantes (essas são regras práticas para saber a ordem):
  • Se [S]\ll\mathrm{K}_{\mathrm{m}}, então \mathrm{K}_{\mathrm{m}}+[S]\approx\mathrm{K}_{\mathrm{m}} e v\approx \dfrac{\mathrm{k}_{2}\,[\mathrm{E}]_{0}}{\mathrm{K}_{\mathrm{m}}}\,[S],ou seja, a velocidade é proporcional a [S] → ordem 1 em relação ao substrato.
  • Se [S]\gg\mathrm{K}_{\mathrm{m}}, então \mathrm{K}_{\mathrm{m}}+[S]\approx[S] e v\approx \mathrm{k}_{2}\,[\mathrm{E}]_{0},ou seja, a velocidade é praticamente independente de [S] → ordem 0 (zero) em relação ao substrato.
Essas aproximações vêm de álgebra simples aplicada à fórmula de Michaelis–Menten; é assim que se decide a ordem efetiva em enzimas.

Passo 3

Aplicar o critério aos números dados para decidir a ordem.
Calculo da razão [S]/\mathrm{K}_{\mathrm{m}}:
\dfrac{[S]}{\mathrm{K}_{\mathrm{m}}}=\dfrac{0,1}{8\times10^{-3}}=\dfrac{0,1}{0,008}=12{,}5.
Como [S] é cerca de 12{,}5 vezes maior que \mathrm{K}_{\mathrm{m}}, temos [S]\gg\mathrm{K}_{\mathrm{m}} na prática. Portanto, a reação está na região de saturação da enzima e a velocidade é aproximadamente independente de [S].
Conclusão parcial (resposta à primeira pergunta): a reação é, aproximadamente, de ordem zero em relação ao \mathrm{CO}_{2} nas condições dadas.

Passo 4

Cálculo do tempo de meia-vida. Vou fazer de forma cuidadosa: primeiro apresento a velocidade máxima aproximada e depois obtenho o tempo de meia-vida de maneira mais precisa integrando a equação diferencial de Michaelis–Menten.
Velocidade máxima aproximada (v_{\max}):
v_{\max}=\mathrm{k}_{2}\,[\mathrm{E}]_{0}=(6\times10^{5}\\ \mathrm{s}^{-1})\times(1\times10^{-6}\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1})=0{,}6\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.
Usando a equação completa para a velocidade inicial v_{0} com [S]_{0}=0,1\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}:
v_{0}=\dfrac{\mathrm{k}_{2}\,[\mathrm{E}]_{0}\,[S]_{0}}{\mathrm{K}_{\mathrm{m}}+[S]_{0}} =0{,}6\cdot\dfrac{0{,}1}{0{,}008+0{,}1} =0{,}6\cdot\dfrac{0{,}1}{0{,}108} \approx0{,}6\cdot0{,}9259\approx0{,}5556\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}.
Isso confirma que estamos perto da saturação (velocidade próxima de v_{\max}).
Agora, para achar o tempo que leva para a concentração cair de [S]_{0} para [S]_{0}/2 (meia-vida), podemos integrar a equação diferencial exata:
-\dfrac{d[S]}{dt}=\dfrac{\mathrm{k}_{2}\,[\mathrm{E}]_{0}\,[S]}{\mathrm{K}_{\mathrm{m}}+[S]}.
Separando variáveis e integrando de t=0 (com S=[S]_{0}) até t=t_{1/2} (com S=[S]_{0}/2):
\int_{[S]_{0}}^{[S]_{0}/2}\left(\dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{m}}+[S]}{[S]}\right)d[S] =-\mathrm{k}_{2}\,[\mathrm{E}]_{0}\int_{0}^{t_{1/2}}dt.
Avalia-se o lado esquerdo:
\int\left(\dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{m}}}{[S]}+1\right)d[S] =\mathrm{K}_{\mathrm{m}}\ln\!\left(\dfrac{[S]}{}\right)+[S].
Aplicando limites:
\mathrm{K}_{\mathrm{m}}\ln\!\left(\dfrac{[S]_{0}/2}{[S]_{0}}\right)+\left(\dfrac{[S]_{0}}{2}-[S]_{0}\right) =-\mathrm{k}_{2}\,[\mathrm{E}]_{0}\,t_{1/2}.
Simplificando (notar \ln([S]_{0}/2)-\ln([S]_{0})=\ln(1/2)=-\ln 2):
\mathrm{K}_{\mathrm{m}}\ln\!\left(\dfrac{1}{2}\right)-\dfrac{[S]_{0}}{2} =-\mathrm{k}_{2}\,[\mathrm{E}]_{0}\,t_{1/2}.
Multiplicando por -1 e rearranjando obtemos a expressão prática:
t_{1/2}=\dfrac{\mathrm{K}_{\mathrm{m}}\ln 2 + \dfrac{[S]_{0}}{2}}{\mathrm{k}_{2}\,[\mathrm{E}]_{0}}.
Agora substituímos os valores numéricos:
\mathrm{K}_{\mathrm{m}}\ln 2=0{,}008\times0{,}693147\ldots\approx0{,}005545,
\dfrac{[S]_{0}}{2}=\dfrac{0{,}1}{2}=0{,}05.
Soma no numerador:
0{,}005545+0{,}05=0{,}055545.
Denominador:
\mathrm{k}_{2}\,[\mathrm{E}]_{0}=0{,}6\\ \mathrm{s}^{-1}.
Logo
t_{1/2}\approx\dfrac{0{,}055545}{0{,}6}\approx0{,}092575\\ \mathrm{s}\approx0{,}093\\ \mathrm{s}.
Observação prática: se usássemos a aproximação de ordem zero pura (velocidade constante igual a v_{\max}=0{,}6\\ \mathrm{mol}\,\mathrm{L}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}), obteríamos
t_{1/2}=\dfrac{[S]_{0}}{2v_{\max}}=\dfrac{0{,}1}{2\times0{,}6}=0{,}0833\\ \mathrm{s},
valor um pouco menor, mas da mesma ordem de grandeza. A integração exata dá t_{1/2}\approx0{,}093\\ \mathrm{s}, que é a resposta mais precisa.

Passo 5

Interpretação final curta e um incentivo: a reação catalisada é extremamente rápida nessas condições — meia-vida de cerca de 0{,}09\\ \mathrm{s}, muito menor do que os 10\\ \mathrm{s} do processo não catalisado. Ou seja, a anidrase carbônica faz uma diferença enorme, o que explica por que respiramos normalmente. Mantém a calma — entender esse raciocínio (comparar [S] com \mathrm{K}_{\mathrm{m}} e integrar quando necessário) é tudo o que normalmente cai em prova.

Resposta

Ordem em relação ao \mathrm{CO}_{2}: ordem zero (aproximadamente).
Tempo de meia-vida: t_{1/2}\approx0{,}093\\ \mathrm{s}.

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