Drogas administradas em pacientes são geralmente consumidas em processos de primeira ordem. Suponha que um medicamento é administrado em doses regulares em intervalos de tempo correspondentes ao consumo de uma fração de 1/n do mesmo. Mostre que a concentração máxima da droga no paciente será igual a n vezes a concentração da mesma gerada por dose.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única conclusão.
- Informação: o medicamento é administrado em doses iguais e em intervalos regulares.
- Informação: em cada intervalo de tempo entre duas doses o organismo consome (elimina) uma fração
da quantidade presente naquele intervalo. - Pergunta: mostrar que a concentração máxima da droga no paciente (no regime de doses repetidas, isto é, no estado estacionário) será igual a
vezes a concentração provocada por uma única dose.
Observações úteis que extraio do enunciado (pegar esses dados do enunciado):
- “Consome uma fração
do mesmo” significa que, entre duas doses, a fração remanescente é . - Vou chamar de
a contribuição imediata de concentração que uma dose produz logo após ser administrada (ou seja, a elevação de concentração causada por uma dose isolada).
Passo 2
Modelagem física e matemátca básica (explicando cada conceito).
- Processo de primeira ordem aqui significa que a fração eliminada em cada intervalo é proporcional à quantidade presente; o enunciado já fixou essa fração como
por intervalo. - Defino a fração que permanece entre doses como
Explicando: se se elimina
, então a porção que sobra é
. Note que
para
.
- Defino
como a concentração imediatamente após a -ésima dose (ou seja, o pico logo depois da dose ). Em particular (antes da primeira dose a concentração é zero, depois da primeira dose sobe para ).
Passo 3
Construir a recorrência que relaciona
e
(a ideia chave).
- Entre a dose
e a dose a concentração decai multiplicada por , então imediatamente antes da dose a concentração é . - Ao aplicar a
-ésima dose, a concentração sobe instantaneamente somando mais . - Portanto a relação entre picos sucessivos é
Isto é uma recorrência linear não-homogênea de primeira ordem. Vou agora resolver essa recorrência para obter
em função de
,
e
.
Passo 4
Resolver a recorrência por soma geométrica (explicando a técnica).
- Iterando a relação a partir de
:
e assim por diante. Por indução percebe-se o padrão
- A soma dentro do parêntese é uma soma geométrica finita. A fórmula da soma geométrica finita é: para
,
Explicando essa fórmula: multiplica-se a soma por
e cancela-se termos sucessivos, sobressaindo
; é uma prova simples que dá essa expressão.
- Assim obtemos a forma fechada
Passo 5
Determinar o máximo da concentração em regime estacionário (limite quando
).
- Em regime de doses regulares e por muitas doses, a sequência de picos
converge para um limite (porque , então quando ). - Tomando o limite em
:
- Explicando: esse
é o pico máximo repetido que o paciente alcança após muitas doses (o chamado estado estacionário transiente estabelecido).
Passo 6
Substituir
pela expressão em função de
e simplificar para obter a relação final.
- Lembrando que
. Então
- Substituindo em
:
- Interpretação: a concentração máxima (pico em estado estacionário) vale exatamente
vezes a concentração que uma única dose gera sozinha imediatamente após a administração (que chamamos ).
Passo 7
Comentário prático e intuição (para lembrar na prova).
- Intuição rápida: se em cada intervalo se perde
do que havia, então permanece partes de cada . Somando as contribuições de todas as doses passadas (cada uma reduzida por uma potência de ) forma-se uma série geométrica cuja soma é . Assim o pico final é vezes a contribuição de uma dose. - Exemplo numérico para fixar: se
(a cada intervalo se elimina , sobra ), então e . Ou seja, após muitas doses o pico será quatro vezes o pico gerado por uma dose isolada.