Drogas administradas em pacientes são geralmente consumidas em processos de primeira ordem. Suponha que um medicamento é administrado em doses regulares em intervalos de tempo correspondentes ao consumo de uma fração de 1/n do mesmo. Mostre que a concentração máxima da droga no paciente será igual a n vezes a concentração da mesma gerada por dose.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única conclusão.
  • Informação: o medicamento é administrado em doses iguais e em intervalos regulares.
  • Informação: em cada intervalo de tempo entre duas doses o organismo consome (elimina) uma fração 1/n da quantidade presente naquele intervalo.
  • Pergunta: mostrar que a concentração máxima da droga no paciente (no regime de doses repetidas, isto é, no estado estacionário) será igual a n vezes a concentração provocada por uma única dose.
Observações úteis que extraio do enunciado (pegar esses dados do enunciado):
  • “Consome uma fração 1/n do mesmo” significa que, entre duas doses, a fração remanescente é 1-\tfrac{1}{n}.
  • Vou chamar de D a contribuição imediata de concentração que uma dose produz logo após ser administrada (ou seja, a elevação de concentração causada por uma dose isolada).

Passo 2

Modelagem física e matemátca básica (explicando cada conceito).
  • Processo de primeira ordem aqui significa que a fração eliminada em cada intervalo é proporcional à quantidade presente; o enunciado já fixou essa fração como 1/n por intervalo.
  • Defino a fração que permanece entre doses como
r = 1 - \frac{1}{n}.
Explicando: se se elimina 1/n, então a porção que sobra é r. Note que 0\le r<1 para n>1.
  • Defino C_k como a concentração imediatamente após a k-ésima dose (ou seja, o pico logo depois da dose k). Em particular C_1=D (antes da primeira dose a concentração é zero, depois da primeira dose sobe para D).

Passo 3

Construir a recorrência que relaciona C_k e C_{k-1} (a ideia chave).
  • Entre a dose k-1 e a dose k a concentração decai multiplicada por r, então imediatamente antes da dose k a concentração é r C_{k-1}.
  • Ao aplicar a k-ésima dose, a concentração sobe instantaneamente somando mais D.
  • Portanto a relação entre picos sucessivos é
C_k = r C_{k-1} + D.
Isto é uma recorrência linear não-homogênea de primeira ordem. Vou agora resolver essa recorrência para obter C_k em função de k, r e D.

Passo 4

Resolver a recorrência por soma geométrica (explicando a técnica).
  • Iterando a relação a partir de C_1=D:
C_2 = rC_1 + D = rD + D = D(1+r),
C_3 = rC_2 + D = r\bigl(D(1+r)\bigr) + D = D(1+r+r^2),
e assim por diante. Por indução percebe-se o padrão
C_k = D\bigl(1 + r + r^2 + \cdots + r^{\,k-1}\bigr).
  • A soma dentro do parêntese é uma soma geométrica finita. A fórmula da soma geométrica finita é: para r\neq 1,
1 + r + r^2 + \cdots + r^{\,k-1} = \frac{1-r^{k}}{1-r}.
Explicando essa fórmula: multiplica-se a soma por 1-r e cancela-se termos sucessivos, sobressaindo 1-r^k; é uma prova simples que dá essa expressão.
  • Assim obtemos a forma fechada
C_k = D\,\frac{1-r^{k}}{1-r}.

Passo 5

Determinar o máximo da concentração em regime estacionário (limite quando k\to\infty).
  • Em regime de doses regulares e por muitas doses, a sequência de picos C_k converge para um limite C_{\infty} (porque 0\le r<1, então r^k\to 0 quando k\to\infty).
  • Tomando o limite em C_k:
C_{\infty}=\lim_{k\to\infty} C_k = \lim_{k\to\infty} D\,\frac{1-r^{k}}{1-r} = D\,\frac{1-0}{1-r} = \frac{D}{1-r}.
  • Explicando: esse C_{\infty} é o pico máximo repetido que o paciente alcança após muitas doses (o chamado estado estacionário transiente estabelecido).

Passo 6

Substituir r pela expressão em função de n e simplificar para obter a relação final.
  • Lembrando que r = 1 - \tfrac{1}{n}. Então
1-r = 1 - \left(1 - \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n}.
  • Substituindo em C_{\infty}:
C_{\infty} = \frac{D}{1-r} = \frac{D}{\tfrac{1}{n}} = nD.
  • Interpretação: a concentração máxima (pico em estado estacionário) vale exatamente n vezes a concentração que uma única dose gera sozinha imediatamente após a administração (que chamamos D).

Passo 7

Comentário prático e intuição (para lembrar na prova).
  • Intuição rápida: se em cada intervalo se perde 1/n do que havia, então permanece n-1 partes de cada n. Somando as contribuições de todas as doses passadas (cada uma reduzida por uma potência de r) forma-se uma série geométrica cuja soma é 1/(1-r)=n. Assim o pico final é n vezes a contribuição de uma dose.
  • Exemplo numérico para fixar: se n=4 (a cada intervalo se elimina 1/4, sobra 3/4), então r=3/4 e C_{\infty}=4D. Ou seja, após muitas doses o pico será quatro vezes o pico gerado por uma dose isolada.

Resposta

C_{\max}=nD

Exercícios relacionados