Ano 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Área em Acres 213 297 374 426 460 434
74a
Use os recursos de regressão de uma ferramenta gráfica para encontrar um modelo matemático na forma y=a t^2+b t+c para os dados. No modelo, y representa a média da área em acres e t representa os anos, com t=0 correspondendo a 1950.

Passo 1

O enunciado pede um ajuste de regressão quadrática aos dados de área em acres em função do ano, usando o modelo y = a,t^2 + b,t + c, onde t = 0 em 1950. Vamos usar mínimos quadrados para obter os coeficientes a, b e c.

Passo 2

Para o método dos mínimos quadrados de um polinômio de grau 2, derivamos as equações normais. Se temos pontos (ti,yi), as equações são:
sumi yi = n,c + l(sumi tir) b + l(sumi ti^2r) a
sumi ti yi = l(sumi tir) c + l(sumi ti^2r) b + l(sumi ti^3r) a
sumi ti^2 yi = l(sumi ti^2r) c + l(sumi ti^3r) b + l(sumi ti^4r) a

Passo 3

Calculamos os valores necessários a partir dos pares (t,y)=(0,213),(10,297),(20,374),(30,426),(40,460),(50,434). Obtivemos:
sum ti = 150, sum ti^2 = 5500, sum ti^3 = 225000, sum ti^4 = 9790000
sum yi = 2204, sum ti yi = 63330, sum ti^2 yi = 2383700

Passo 4

Substituindo esses valores nas equações normais, ficamos com o sistema
6c + 150b + 5500a = 2204
150c + 5500b + 225000a = 63330
5500c + 225000b + 9790000a = 2383700
Resolvendo (por eliminação ou matrícula) encontramos aproximadamente:
a approx -0.1289, b approx 11.1473, c approx 206.7989

Passo 5

Com esses coeficientes, o modelo de regressão quadrática fica:
y = -0.1289,t^2 + 11.1473,t + 206.7989

Resposta

y = -0.1289,t^2 + 11.1473,t + 206.7989

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