Em anos de desenvolvimento, a matemática vem tomando uma significativa importância no cotidiano de todos no decorrer dos tempos, principalmente para os engenheiros. Ela está presente em tudo, em situações cotidianas e em cursos de graduação, seja de forma direta ou indireta. O Cálculo Diferencial e Integral, faz parte de toda a vida acadêmica dos estudantes de engenharia, proporcionando-os a possibilidade de solucionar problemas na profissão escolhida, ou nas diversas áreas do conhecimento de uma forma mais assertiva. Como exemplo, no cálculo de tração, compressão, cisalhamento, tensões e deformações (deformações em barras carregadas axialmente/barras sob a ação do próprio peso), cálculo de áreas, volumes, momentos de inércia, cargas e entre outros.
Fonte: https://repositorio.ufersa.edu.br/server/api/core/bitstreams/e70d1cfa-24fe-4f5d-b2970e2931acbbe9/content. Acesso em: 10 ago. 2024.
Sobre a importância dos conteúdos do Cálculo Diferencial e Integral, observe a função a seguir.
f(x)=raizx+1-2 x+4
Com base na função, faça:
A derivada segunda dessa função é?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisamos encontrar a segunda derivada dela. Isso está dentro do conteúdo de Cálculo Diferencial e Integral, mais especificamente na parte de derivadas. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções básicas e aplicar as regras de derivação várias vezes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma derivada. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação dessa função em relação a . Ou seja, ela nos diz como a função está crescendo ou decrescendo naquele ponto.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada de f(x) = (x + 1)^12 - 2x + 4 . A função é ddx (x + 1)^12 = 12(x + 1)^-12 cdot 1 = 12raizx + 1 . Podemos reescrever a raiz quadrada como uma potência:
ddx (-2x) = -2
Agora, aplicamos a regra da derivada para cada termo:
  1. Para ddx 4 = 0 , usamos a regra do poder:
f'(x) = 12raizx + 1 - 2
  1. Para , a derivada é simplesmente o coeficiente de :
  1. Para a constante , a derivada é zero:
Então, a primeira derivada fica:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada da primeira derivada f'(x) = 12(x + 1)^-12 - 2 . Ou seja, precisamos derivar ddx ( 12(x + 1)^-12 ) = 12 cdot ( -12 ) (x + 1)^-32 cdot 1 = -14(x + 1)^-32 = -14(x + 1)^-32 .
Primeiro, reescrevemos ddx (-2) = 0 como f''(x) = -14(x + 1)^-32 para facilitar a derivação:
Agora, derivamos cada termo:
  1. Para , aplicamos a regra do poder novamente:
  1. Para a constante , a derivada continua sendo zero:
Então, a segunda derivada é:

Resposta

A segunda derivada da função f''(x) = -14(x + 1)^-32 é:

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