Considere a função real de variável real definida por
f(x)=ll 4 x^2-x-5 & , x<1 2 sen(2 x-2)-2 x & , x >= 1
[2.5] (a) Estude a diferenciabilidade de f no seu domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente estudar se a função é diferenciável em todo o seu domínio. A função está dividida em duas partes: uma para e outra para . Vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável, verificar a continuidade da função no ponto onde ela muda de definição (que é ) e calcular as derivadas das duas partes para ver se elas se conectam direitinho nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função f(x) = 4x^2 - x - 5 é contínua no ponto f(1^-) = 4(1)^2 - 1 - 5 = 4 - 1 - 5 = -2 . Isso é importante porque, para uma função ser diferenciável, ela precisa ser contínua nesse ponto.
Para f(x) = 2sen(2x - 2) - 2x :
f(1^+) = 2sen(2(1) - 2) - 2(1) = 2sen(0) - 2 = 0 - 2 = -2
Vamos calcular , o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda:
Para :
Vamos calcular , o valor de em :
Como , a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas das duas partes da função.
Para f(x) = 4x^2 - x - 5 :
f'(x) = 8x - 1
A derivada é:
f(x) = 2sen(2x - 2) - 2x
Para f'(x) = 2 cdot 2cos(2x - 2) - 2 = 4cos(2x - 2) - 2 :
A derivada é:

Passo 4

Vamos agora calcular as derivadas laterais em f'(1^-) = 8(1) - 1 = 8 - 1 = 7 .
Derivada pela esquerda ( f'(1^+) = 4cos(2(1) - 2) - 2 = 4cos(0) - 2 = 4(1) - 2 = 4 - 2 = 2 ):
Derivada pela direita ( ):

Passo 5

Comparando as derivadas laterais:
f'(1^-) = 7
f'(1^+) = 2
Como , as derivadas não coincidem em . Portanto, a função não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

A função não é diferenciável em .

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