Considere a função real de variável real definida por
[2.5] (a) Estude a diferenciabilidade de
no seu domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente estudar se a função
é diferenciável em todo o seu domínio. A função está dividida em duas partes: uma para
e outra para
. Vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável, verificar a continuidade da função no ponto onde ela muda de definição (que é
) e calcular as derivadas das duas partes para ver se elas se conectam direitinho nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função
é contínua no ponto
. Isso é importante porque, para uma função ser diferenciável, ela precisa ser contínua nesse ponto.
Para
:
Vamos calcular
, o limite quando
se aproxima de 1 pela esquerda:
Para
:
Vamos calcular
, o valor de
em
:
Como
, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas das duas partes da função.
Para
:
A derivada é:
Para
:
A derivada é:
Passo 4
Vamos agora calcular as derivadas laterais em
.
Derivada pela esquerda (
):
Derivada pela direita (
):
Passo 5
Comparando as derivadas laterais:
Como
, as derivadas não coincidem em
. Portanto, a função não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
A função
não é diferenciável em
.