Considere a função real de variável real definida por
f(x)=ll 4 x^2-x-5 & , x<1 2 sen(2 x-2)-2 x & , x >= 1
[1.0] © Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x=0.

Passo 1

Temos uma função definida por partes, o conteúdo é derivada e reta tangente. Para achar a reta tangente em x=0, vamos precisar calcular o valor de f(0) e a derivada f’(0).

Passo 2

Como 0<1, usamos a expressão f(x)=4x^2−x−5. Logo,
f(0)=4·0^2−0−5=−5.

Passo 3

Agora, derivamos o polinômio:
f’(x)=d(4x^2−x−5)/dx=8x−1.

Passo 4

Avaliando em x=0 temos f’(0)=8·0−1=−1.

Passo 5

A equação da reta tangente em (0,f(0)) com coeficiente angular m=f’(0) é
y−f(0)=f’(0)(x−0). Substituindo f(0)=−5 e f’(0)=−1:
y+5=−1·x, logo a reta fica y=−x−5.

Resposta

y = -x - 5

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