Questāo 6
Incompleto
Vale 0,20
ponto(s).
F Marcar
questāo
Considere um tanque muito profundo, aberto, preenchido com um líquido cuja densidade varia de acordo com a função
.
Sabendo que o pressão atmosférica local vale 1 atm , estime a pressão total dentro do tanque quando na profundidade
.
Adote
, e dê sua resposta em bar. com 3 casas decimals.
Resposta: □
Incompleto
Vale 0,20
ponto(s).
F Marcar
questāo
Sabendo que o pressão atmosférica local vale 1 atm , estime a pressão total dentro do tanque quando na profundidade
Adote
Passo 1
O enunciado fornece:
- A densidade do líquido em função da profundidade
(em centímetros): . - A profundidade onde queremos a pressão total:
. - A aceleração da gravidade:
. - A pressão atmosférica local vale
.
O que se pede:
- Estimar a pressão total dentro do tanque na profundidade
, e dar a resposta em bar com três casas decimais.
Passo 2
Conceito e fórmula que usaremos (explicação didática):
- Em um líquido com densidade que varia com a profundidade, a pressão hidrostática adicional, ao nos afastarmos da superfície até uma profundidade
, é dada pela integral do peso da coluna de fluido por área:
Aqui:
-
é a densidade local do líquido em função da profundidade , -
é a aceleração da gravidade, -
é a profundidade onde se quer calcular a pressão. - A pressão total na profundidade é a soma da pressão atmosférica mais essa pressão hidrostática:
Motivação física simples: em um pequeno elemento de altura
a força peso por área é
; somando (integrando) de
a
obtemos a pressão adicional devido ao líquido.
Passo 3
Unidades — transformar tudo para o SI para calcular:
- Primeiro convertemos a função densidade para
e expressamos a profundidade em metros. - Sabemos que
e que . - Dado
em (aqui é em centímetros), em temos:
- Substituindo
(onde está em metros), obtemos:
- Simplificando:
Passo 4
Montagem da integral e cálculo simbólico:
- A pressão hidrostática até
é
- Calculamos a integral term a term:
- Portanto
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular com cuidado (aqui ensino a fazer as contas passo a passo):
- Profundidade em metros:
- Calcule
:
- Calcule os termos dentro dos parênteses:
- Soma:
- Multiplicando por
:
Passo 6
Somar a pressão atmosférica e converter para bar:
- A pressão atmosférica
. - Pressão total em pascal:
- Converter para bar (
):
- Arredondando para três casas decimais (conforme pedido):
.