Questāo 6
Incompleto
Vale 0,20
ponto(s).
F Marcar
questāo
Considere um tanque muito profundo, aberto, preenchido com um líquido cuja densidade varia de acordo com a função \rho(\mathrm{h})=\left(1,2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}\right)+\left(0,002 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{5}\right) \mathrm{h}^{2}.
Sabendo que o pressão atmosférica local vale 1 atm , estime a pressão total dentro do tanque quando na profundidade 198,7 \mathrm{~cm}.
Adote \mathrm{g}=9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}, e dê sua resposta em bar. com 3 casas decimals.
Resposta: □

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A densidade do líquido em função da profundidade h (em centímetros): \rho(h)=\left(1,2\\ \mathrm{g/cm^{3}}\right)+\left(0,002\\ \mathrm{g/cm^{5}}\right)h^{2}.
  • A profundidade onde queremos a pressão total: h=198,7\\ \mathrm{cm}.
  • A aceleração da gravidade: g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • A pressão atmosférica local vale 1\\ \mathrm{atm}.
O que se pede:
  • Estimar a pressão total dentro do tanque na profundidade 198,7\\ \mathrm{cm}, e dar a resposta em bar com três casas decimais.

Passo 2

Conceito e fórmula que usaremos (explicação didática):
  • Em um líquido com densidade que varia com a profundidade, a pressão hidrostática adicional, ao nos afastarmos da superfície até uma profundidade H, é dada pela integral do peso da coluna de fluido por área:
p_{\text{hidro}} = \int_{0}^{H} \rho(h)\,g\,\mathrm{d}h.
Aqui:
  • \rho(h) é a densidade local do líquido em função da profundidade h,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • H é a profundidade onde se quer calcular a pressão.
  • A pressão total na profundidade é a soma da pressão atmosférica mais essa pressão hidrostática:
p_{\text{total}} = p_{\text{atm}} + p_{\text{hidro}}.
Motivação física simples: em um pequeno elemento de altura \mathrm{d}h a força peso por área é \rho(h)\,g\,\mathrm{d}h; somando (integrando) de 0 a H obtemos a pressão adicional devido ao líquido.

Passo 3

Unidades — transformar tudo para o SI para calcular:
  • Primeiro convertemos a função densidade para \mathrm{kg/m^{3}} e expressamos a profundidade em metros.
  • Sabemos que 1\\ \mathrm{g/cm^{3}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e que 1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m}.
  • Dado \rho(h_{\text{cm}})=1,2+0,002\,h_{\text{cm}}^{2} em \mathrm{g/cm^{3}} (aqui h_{\text{cm}} é em centímetros), em \mathrm{kg/m^{3}} temos:
\rho(h_{\text{cm}})=1000\bigl(1,2+0,002\,h_{\text{cm}}^{2}\bigr).
  • Substituindo h_{\text{cm}} = 100\,h (onde h está em metros), obtemos:
\rho(h)=1000\bigl(1,2+0,002\,(100h)^{2}\bigr)=1000\bigl(1,2+0,002\cdot 10^{4}h^{2}\bigr).
  • Simplificando:
\rho(h)=1000\bigl(1,2+20h^{2}\bigr)=1200+20000\,h^{2}\quad\text{(em \(\mathrm{kg/m^{3}}\), com \(h\) em metros).}

Passo 4

Montagem da integral e cálculo simbólico:
  • A pressão hidrostática até H é
p_{\text{hidro}}=g\int_{0}^{H} \bigl(1200+20000\,h^{2}\bigr)\,\mathrm{d}h.
  • Calculamos a integral term a term:
\int_{0}^{H}1200\,\mathrm{d}h = 1200\,H,
\int_{0}^{H}20000\,h^{2}\,\mathrm{d}h = 20000\cdot\frac{H^{3}}{3}.
  • Portanto
p_{\text{hidro}} = g\left(1200\,H + \frac{20000}{3}H^{3}\right).

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular com cuidado (aqui ensino a fazer as contas passo a passo):
  • Profundidade em metros:
H=198,7\\ \mathrm{cm}=1,987\\ \mathrm{m}.
  • Calcule H^{3}:
H^{3}=(1,987)^{3}=\frac{1987^{3}}{1000^{3}}=\frac{7\,845\,011\,803}{10^{9}}=7,845011803\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Calcule os termos dentro dos parênteses:
1200\,H = 1200\cdot 1,987 = 2384,4.
\frac{20000}{3}H^{3} = \frac{20000}{3}\cdot 7,845011803 = 52300,078686\ldots
  • Soma:
1200H+\frac{20000}{3}H^{3}=2384,4+52300,078686\ldots=54684,478686\ldots\\ \mathrm{kg/m^{2}}.
  • Multiplicando por g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}:
p_{\text{hidro}} = 9,8\cdot 54684,478686\ldots = 535907,891129\ldots\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Somar a pressão atmosférica e converter para bar:
  • A pressão atmosférica p_{\text{atm}}=1\\ \mathrm{atm}=101325\\ \mathrm{Pa}.
  • Pressão total em pascal:
p_{\text{total}} = p_{\text{atm}} + p_{\text{hidro}} = 101325 + 535907,891129\ldots = 637232,891129\ldots\\ \mathrm{Pa}.
  • Converter para bar ( 1\\ \mathrm{bar}=10^{5}\\ \mathrm{Pa} ):
p_{\text{total}} = \frac{637232,891129\ldots}{10^{5}} = 6,37232891129\ldots\\ \mathrm{bar}.
  • Arredondando para três casas decimais (conforme pedido): 6,372\\ \mathrm{bar}.

Resposta

6,372\\ \mathrm{bar}

Exercícios relacionados