Numa antena de rádio, cargas elétricas oscilam sob a ação de ondas eletromagnéticas em uma dada freqüência. Imagine que essas oscilações tivessem sua origem em forças mecânicas e não elétricas: cargas elétricas fixas em uma massa presa a uma mola. A amplitude do deslocamento desta “antena-mola” seria de 1 mm e a massa de 1 g para um rádio portátil. Considere um sinal de rádio AM de 1000 kHz .
a) Qual seria a constante de mola dessa “antena-mola”?
b) Qual seria a força mecânica necessária para deslocar essa mola de 1 mm ?
a) Qual seria a constante de mola dessa “antena-mola”?
b) Qual seria a força mecânica necessária para deslocar essa mola de 1 mm ?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma antena de rádio onde cargas elétricas estão oscilando em uma frequência de 1000 kHz. Imagina que essas oscilações são causadas por forças mecânicas, tipo uma massa presa a uma mola. A amplitude desse deslocamento é de 1 mm e a massa é de 1 g. A gente precisa resolver duas partes:
a) Encontrar a constante da mola dessa “antena-mola”.
b) Descobrir qual a força mecânica necessária pra deslocar essa mola 1 mm.
b) Descobrir qual a força mecânica necessária pra deslocar essa mola 1 mm.
Vamos usar conceitos de mecânica, mais especificamente do sistema massa-mola e das ondas oscilatórias.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre a frequência das oscilações, a massa e a constante da mola. Para um sistema massa-mola, a frequência $ f $ das oscilações está relacionada à massa $ m $ e à constante da mola $ k $ pela fórmula:
Nosso objetivo é encontrar $ k $, então vamos rearranjar essa equação para isolá-la.
Passo 3
Rearranjando a fórmula para resolver $ k $:
Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Multiplicando ambos os lados por $ m $:
Passo 4
Vamos substituir os valores conhecidos na equação. Primeiro, precisamos converter todos os valores para as unidades do Sistema Internacional.
- Massa $ m = 1 , g = 1 \times 10^{-3} , kg $
- Frequência $ f = 1000 , kHz = 1 \times 10^{6} , Hz $
Substituindo na fórmula:
Passo 5
Vamos calcular passo a passo.
Primeiro, calculamos $ 2\pi f $:
Agora, elevamos esse valor ao quadrado:
Multiplicando pela massa:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda parte: encontrar a força mecânica necessária para deslocar essa mola 1 mm.
Usamos a Lei de Hooke, que diz que a força $ F $ exercida por uma mola é proporcional ao deslocamento $ x $:
Onde:
- $ k $ é a constante da mola que encontramos.
- $ x $ é a amplitude do deslocamento.
Passo 7
Substituindo os valores:
Então,
Resposta
A força mecânica necessária para deslocar a mola 1 mm é de aproximadamente $ 3.95 \times 10^{7} , N $.