Um objeto realiza um MHS sobre um eixo
, sendo sua função horária dada por:
Obtenha funções velocidade e aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um objeto que está fazendo Movimento Harmônico Simples (MHS) no eixo $ Ox $. A função que descreve a posição desse objeto ao longo do tempo é $ X(t) = \cos(t) $. Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade e a aceleração desse objeto mudam com o tempo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar essas taxas de mudança.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a função da velocidade. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da posição em relação a $ t $.
A função posição que temos é:
Para encontrar a velocidade $ V(t) $, derivamos $ X(t) $ em relação a $ t $:
Sabemos que a derivada de $ \cos(t) $ é $ -\sin(t) $. Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função da aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da velocidade em relação a $ t $.
Já encontramos que:
Derivando $ V(t) $ em relação a $ t $ para encontrar $ A(t) $:
Sabemos que a derivada de $ -\sin(t) $ é $ -\cos(t) $. Então:
Resposta
As funções de velocidade e aceleração são, respectivamente: