Um objeto realiza um MHS sobre um eixo O x, sendo sua função horária dada por:
X(t)=cos (t), n o S I
Obtenha funções velocidade e aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um objeto que está fazendo Movimento Harmônico Simples (MHS) no eixo $ Ox $. A função que descreve a posição desse objeto ao longo do tempo é $ X(t) = \cos(t) $. Nosso objetivo aqui é descobrir como a velocidade e a aceleração desse objeto mudam com o tempo. Para isso, vamos usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar essas taxas de mudança.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a função da velocidade. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da posição em relação a $ t $.
A função posição que temos é:
t
Para encontrar a velocidade $ V(t) $, derivamos $ X(t) $ em relação a $ t $:
X(t) = cos(t)
Sabemos que a derivada de $ \cos(t) $ é $ -\sin(t) $. Então:
V(t)

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função da aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da velocidade em relação a $ t $.
Já encontramos que:
t
Derivando $ V(t) $ em relação a $ t $ para encontrar $ A(t) $:
V(t) = -sin(t)
Sabemos que a derivada de $ -\sin(t) $ é $ -\cos(t) $. Então:
V(t)

Resposta

As funções de velocidade e aceleração são, respectivamente:
V(t) = -sin(t)
A(t) = -cos(t)

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