Antes de uma eleição, um determinado partido está interessado em estimar a proporção p de eleitores favoráveis ao seu candidato. Uma amostra piloto de tamanho 100 revelou que 60 \% dos eleitores eram favoráveis ao candidato em questão. Determine o tamanho da amostra necessário para que o erro cometido na estimação seja de no máximo 0,01 com probabilidade de 0,82 .
Passo 1
O enunciado pede o tamanho de amostra n tal que
P\bigl(|\hat p - p|\le 0,01\bigr)=0,82,
onde \hat p é a proporção amostral. Foi obtido na amostra piloto \hat p=0,60. Iremos usar a aproximação normal para \hat p.
Passo 2
Pela aproximação normal,
\hat p\sim N\bigl(p,\;p(1-p)/n\bigr),
logo
P\bigl(|\hat p - p|\le E\bigr) = P\Bigl(\bigl|Z\bigr|\le z\Bigr)
com
E=0,01, \quad Z=\frac{\hat p - p}{\sqrt{p(1-p)/n}},
e queremos P(|Z|\le z)=0,82.
Passo 3
Se P(|Z|\le z)=0,82, então a área de cada cauda é 0,09, logo
z = z_{0,91}\approx 1,3408.
Para garantir \;z\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\le E, basta resolver
n\ge \frac{z^{2}\,p(1-p)}{E^{2}}.
Passo 4
Usando z\approx1,3408, p\approx0,60 (da piloto) e E=0,01, temos
n \ge \frac{(1,3408)^{2}\times0,60\times0,40}{(0,01)^{2}} = \frac{1,7986\times0,24}{0,0001} \approx 4316
Arredondando para cima, obtém-se
n=4317.
Resposta
O tamanho de amostra necessário é aproximadamente 4317.