(Bussab e Morettin) A maquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma distribuição normal, com media \mu e desvio padrao 10 g .
(a) Em quanto deve ser regulado o peso medio \mu para que apenas 10 \% dos pacotes tenham menos do que 500 g ?
(b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos ao acaso seja inferior a 2 kg ?
(c) Após a máquina estar regulada, programou-se uma carta de controle de qualidade. De hora em hora, será retirada uma amostra de quatro pacotes e esses serão pesados. Se a

ET - 625 - Estatística 1

Lista 2

média da amostra for inferior a 495 g ou superior a 520 g , encerra-se a produção para reajustar a máquina, isto e, reajustar o peso médio. Qual é a probabilidade de ser feita uma parada desnecessaria? Se o peso medio da máquina desregulou-se para 500 g , qual é a probabilidade de continuar a produção fora dos padrões desejados?

Passo 1

O enunciado diz que o peso de cada pacote segue uma distribuição normal com média \mu (ajustável) e desvio-padrão \sigma=10 g.
(a) Queremos escolher \mu de modo que apenas 10\% dos pacotes pesem menos de 500 g.
(b) Com essa regulagem, calculamos a probabilidade de que a soma de 4 pacotes pese menos de 2000 g.
(c) Adotou-se uma carta de controle: a cada hora, mede-se a média de uma amostra de 4 pacotes e, se estiver fora de 495 g a 520 g, para-se a produção. Primeiro, achamos a probabilidade de parada desnecessária quando a máquina está bem regulada. Depois, se a média real desregulou-se para 500 g, achamos a probabilidade de a produção continuar (isto é, não disparar o alarme) mesmo fora do padrão.

Passo 2

Para (a), seja X\sim N(\mu,10^2). Queremos
P(X<500)=0,1.
Padronizando, Z=(X-\mu)/10, então
P\bigl(Z<\tfrac{500-\mu}{10}\bigr)=0,1.
O quantil z_{0,1} de nível 0,1 é aproximadamente -1,2816. Logo
\tfrac{500-\mu}{10}=-1,2816 \quad\Longrightarrow\quad \mu=500+1,2816\cdot10=512,816\text{ g (aprox.)}.

Passo 3

Para (b), com \mu=512,816 g e X_i\sim N(\mu,10^2) independentes, a soma S=X_1+\cdots+X_4 é normal com média 4\mu e variância 4\cdot10^2. Ou seja,
S\sim N\bigl(4\cdot512,816,\;400\bigr).
Queremos
P(S<2000) =P\Bigl(Z<\frac{2000-4\mu}{20}\Bigr) =P\Bigl(Z<\tfrac{2000-2051,264}{20}\Bigr) =P\bigl(Z<-2,5632\bigr)\approx0,0052.

Passo 4

Para (c1), com a máquina regulada em \mu=512,816 g, a média de amostra \bar X de 4 pacotes tem
\bar X\sim N\bigl(512,816,\;5^2\bigr).
A parada ocorre se \bar X<495 ou \bar X>520. Então
P(\bar X<495) =P\bigl(Z<\tfrac{495-512,816}{5}\bigr) =P(Z<-3,5632)\approx0,00018,
P(\bar X>520) =P\bigl(Z>\tfrac{520-512,816}{5}\bigr) =P(Z>1,4368)\approx0,0758.
Somando, a probabilidade de parada desnecessária é
0,00018+0,0758\approx0,0760.

Passo 5

Para (c2), se a máquina desregulou-se para \mu=500 g, ainda temos \bar X\sim N(500,5^2). A produção continua (sem parar) quando 495\le\bar X\le520, logo
P(495\le\bar X\le520) =P\Bigl(-1\le Z\le4\Bigr) =\Phi(4)-\Phi(-1)\approx0,99997-0,1587=0,8413.

Resposta

(a) \mu\approx512,816 g.
(b) P(S<2000)\approx0,0052.
(c) parar desnecessariamente \approx0,0760; continuar sem parar com \mu=500 g \approx0,8413.

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