Antes de realizar a racionalização, verifique que as expressões a seguir não estão definidas no valor x_{0}. Racionalize em seguida as frações, faça as simplificações possíveis e, então, determine o valor da nova em expressão em x_{0}.
\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3 x-2}}, x_{0}=2

Passo 1

O enunciado pede para estudar a função
f(x)=\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}
no ponto x_{0}=2. Primeiro, verificamos diretamente se está definida ali:
– O numerador em x=2 é 2-2=0.
– O denominador em x=2 é \sqrt{2+2}-\sqrt{3\cdot2-2}=\sqrt{4}-\sqrt{4}=2-2=0.
Logo, f(2) dá a forma \tfrac{0}{0}, isto é, está indeterminada.

Passo 2

Para eliminar a indeterminação \tfrac{0}{0}, usamos a técnica de racionalização do denominador. Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada do denominador, que é \sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}:
f(x) =\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-\sqrt{3x-2}}\;\cdot\;\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}} =\frac{(x-2)\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}\bigr)}{(\sqrt{x+2})^2-(\sqrt{3x-2})^2}.

Passo 3

No denominador temos diferença de quadrados:
(\sqrt{x+2})^2-(\sqrt{3x-2})^2 =(x+2)-(3x-2) =x+2-3x+2 =-2x+4 =-2(x-2).
Assim,
f(x) =\frac{(x-2)\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}\bigr)}{-2(x-2)} =\frac{x-2}{x-2}\,\cdot\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}}{-2} =-\tfrac{1}{2}\,\bigl(\sqrt{x+2}+\sqrt{3x-2}\bigr),
válido sempre que x\neq2.

Passo 4

Agora podemos avaliar o limite (ou a “nova expressão”) em x=2:
\sqrt{2+2}+\sqrt{3\cdot2-2} =\sqrt{4}+\sqrt{4} =2+2 =4.
Multiplicando por -\tfrac12
-\tfrac12\cdot4=-2.

Resposta

-2

Exercícios relacionados