O gradiente de uma função escalar de duas ou três variáveis é uma expressão formada pelas derivadas parciais da função em cada direção coordenada. Seu módulo representa a taxa máxima de variação da função em um ponto, e sua orientação está relacionada às regiões onde essa variação é mais acentuada.
Com relação a este tema, a respeito do gradiente de uma função escalar de duas ou mais variáveis, observe as afirmativas a seguir:
I. A componente i do gradiente de f(x, y)=x^{2} y-y^{3} é 2 x y.
II. A componente j do gradiente de f(x, y)=x^{2} y-y^{3} é -3 y^{2}.
III. O vetor gradiente aponta na direção de maior crescimento da função f.
Está correto o que se afirma em:
a. I, II e III.
b. II e III, apenas
c. I, apenas.
d. I e III, apenas
e. I e II, apenas.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos afirmações sobre o gradiente de f(x,y)=x^{2}y - y^{3}. O conteúdo envolve cálculo de derivadas parciais para formar o vetor gradiente \nabla f=(\partial f/\partial x,\;\partial f/\partial y) e interpretação de sua direção de crescimento máximo.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x^{2}y - y^{3}) =2xy,
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x^{2}y - y^{3}) =x^{2}-3y^{2}.
Logo,
\nabla f(x,y) = (2xy,\;x^{2}-3y^{2}).

Passo 3

Analisando as afirmativas:
  • I. A componente i é 2xy. Correto, pois \partial f/\partial x=2xy.
  • II. A componente j seria -3y^{2}. Incorreto, pois é x^{2}-3y^{2}, faltou x^{2}.
  • III. O gradiente aponta na direção de maior crescimento de f. Correto, essa é a propriedade do gradiente.

Resposta

d. I e III, apenas

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