9.33 A função de sistema de um sistema LIT causal é
H(s)=\frac{s+1}{s^{2}+2 s+2}
Determine e esboce a resposta y(t) quando a entrada for
x(t)=e^{-|t|}, \quad-\infty<t<\infty .

Passo 1

O sistema é LIT causal com função de transferência
H(s)=\frac{s+1}{s^2+2s+2}
e a entrada dada é
x(t)=e^{-|t|},\quad -\infty<t<\infty.
Como o sistema é causal, só importa a parte de x(t) para t\ge0. Vamos usar transformada de Laplace para substituir a convolução y(t)=h(t)*x(t) por produto no domínio de s.

Passo 2

Definimos a entrada efetiva como
x_+(t)=x(t)\,u(t)=e^{-t}u(t).
A transformada de Laplace de x_+(t) é
X(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-t}e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}e^{-(s+1)t}\,dt =\frac{1}{s+1},\quad \Re(s)>-1.

Passo 3

No domínio de s, a saída Y(s) é simplesmente
Y(s)=H(s)\,X(s) =\frac{s+1}{s^2+2s+2}\,\cdot\frac{1}{s+1} =\frac{1}{s^2+2s+2}.
Para facilitar a inversão, reescrevemos o denominador completando o quadrado:
s^2+2s+2=(s+1)^2+1.

Passo 4

Usando a transformada inversa padrão
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl\{\frac{1}{(s+a)^2+b^2}\Bigr\} =e^{-a t}\,\frac{\sin(bt)}{b}\,u(t),
com a=1 e b=1, obtemos
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\} =e^{-1\cdot t}\,\sin(1\cdot t)\,u(t) =e^{-t}\sin(t)\,u(t).

Passo 5

Para esboçar y(t)=e^{-t}\sin(t)\,u(t):
  • Em t=0 vale zero.
  • Oscilações senoidais de frequência unitária, mas com amplitude decrescente exponencialmente pelo fator e^{-t}.
  • O primeiro pico ocorre perto de t=\pi/2, depois decai a zero conforme t\to\infty.

Resposta

y(t)=e^{-t}\,\sin(t)\,u(t).

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