Antônio tem \ 50,00 para gastar num lanche que consiste em hamburgers ($15,00 cada) e batatas fritas ($ 10,00 a porção). A satisfação de Antônio de comerçãçãôx_{1} hamburgers ex_{2}$ porções de batata frita é medida por uma função
Quanto de cada tipo de comida deveria ser comprado para maximizar a satisfação de Antônio (supondo que possam ser adquiridas quantidades fracionárias de cada comida)?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Orçamento de Antônio: \$50{,}00, que vou representar por B = 50.
  • Preço do hamburger: \$15{,}00, que vou representar por p_1 = 15.
  • Preço da porção de batata frita: \$10{,}00, que vou representar por p_2 = 10.
  • Variáveis de decisão: x_1 = quantidade (possivelmente fracionária) de hamburgers; x_2 = quantidade (possivelmente fracionária) de porções de batata frita.
  • Restrições: x_1 \ge 0, x_2 \ge 0 e o gasto não pode ultrapassar o orçamento, isto é
p_1 x_1 + p_2 x_2 \le B \quad\text{ou}\quad 15x_1 + 10x_2 \le 50.
  • O que é pedido: “Quanto de cada tipo de comida deveria ser comprado para maximizar a satisfação de Antônio (supondo quantidades fracionárias permitidas)?”
Importante: o enunciado diz que a satisfação é medida por “uma função”, mas essa função não foi fornecida no texto que você me enviou. Ou seja, falta a expressão matemática da função de satisfação U(x_1,x_2).

Passo 2

Conclusão imediata sobre a possibilidade de resolver numericamente: sem a expressão concreta da função de satisfação U(x_1,x_2) não é possível determinar os valores numéricos ótimos de x_1 e x_2. A função de utilidade diz como Antônio valoriza combinações de hamburgers e batatas; diferentes formas de U geram soluções diferentes (p.ex. soluções de canto ou combinações internas). Por isso, não dá para calcular a resposta numérica final sem essa informação.

Passo 3

Mesmo sem resolver numericamente, vou ensinar passo a passo o método que você usaria na prova assim que tiver a função U(x_1,x_2). A ideia geral é formular um problema de otimização contínua com restrição orçamentária:
\text{Maximizar } U(x_1,x_2)\quad\text{sujeito a}\quad 15x_1+10x_2 \le 50,\quad x_1\ge0,\\ x_2\ge0.
Como se permite quantidades fracionárias, tratamos x_1,x_2 como variáveis reais não-negativas. Em economia/otimização, normalmente a solução ótima ocorre com a restrição de orçamento ativa (igualdade) se U for crescente em cada bem (ou seja, mais do bem aumenta utilidade). Então presumimos que, na maior parte dos casos, a condição ativa será
15x_1+10x_2 = 50.

Passo 4

Método padrão — multiplicadores de Lagrange. Vou explicar a técnica e cada elemento devagar, para você aplicar na prova.
  1. Escrevemos o Lagrangiano:
\mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=U(x_1,x_2)-\lambda(15x_1+10x_2-50).
Aqui \lambda é o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária. Intuição: \lambda representa a taxa marginal com que o valor ótimo da função objetivo aumentaria se o orçamento aumentasse um pouco.
  1. Condições de primeira ordem (FOC), assumindo interior ( x_1>0,x_2>0 ) e função diferenciável:
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1}=U_{x_1}(x_1,x_2)-\lambda\cdot 15=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2}=U_{x_2}(x_1,x_2)-\lambda\cdot 10=0,
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=-(15x_1+10x_2-50)=0.
Isto é,
U_{x_1} = 15\lambda,\qquad U_{x_2}=10\lambda,\qquad 15x_1+10x_2=50.
  1. Eliminando \lambda das duas primeiras equações obtemos a condição familiar:
\frac{U_{x_1}}{U_{x_2}}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}.
Isto significa que, no ótimo interior, a taxa marginal de substituição (TMS) entre hamburgers e batatas — ou seja, quanto de batata ele está disposto a trocar por um hamburger mantendo a mesma utilidade — deve igualar a razão dos preços. Em palavras simples: a “vontade marginal de trocar” entre os bens = “custo relativo” entre os bens.

Passo 5

Como isso fica prático na hora da prova? Vou dar um exemplo concreto bem comum (Cobb–Douglas) e resolver passo a passo para mostrar o tipo de conta que você faria.
Exemplo: suponha que a utilidade seja \displaystyle U(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta} com \alpha,\beta>0. (Isso é um exemplo — só resolver se a sua prova der exatamente essa função.)
  1. Calcule as derivadas parciais:
U_{x_1}=\alpha x_1^{\alpha-1}x_2^{\beta},\qquad U_{x_2}=\beta x_1^{\alpha}x_2^{\beta-1}.
  1. Use a condição de razão:
\frac{U_{x_1}}{U_{x_2}}=\frac{\alpha}{\beta}\cdot\frac{x_2}{x_1}=\frac{3}{2}.
Logo
\frac{x_2}{x_1}=\frac{3}{2}\cdot\frac{\beta}{\alpha}.
  1. Junte com a restrição orçamentária 15x_1+10x_2=50. Substitua x_2 em função de x_1 e resolva para x_1, depois calcule x_2. São contas diretas e levam a uma solução única positiva (desde que \alpha,\beta>0).
Exemplo numérico simples: se \alpha=\beta=1, então U(x_1,x_2)=x_1x_2.
  • A razão dá \dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{3}{2}, então x_2=1{,}5x_1.
  • Orçamento: 15x_1+10(1{,}5x_1)=15x_1+15x_1=30x_1=50.
  • Logo x_1=\dfrac{50}{30}=\dfrac{5}{3}\approx 1{,}6667.
  • E x_2=1{,}5\cdot\dfrac{5}{3}=\dfrac{25}{10}=2{,}5.
Portanto, nesse exemplo hipotético, a solução ótima é x_1=\dfrac{5}{3} hamburgers e x_2=2{,}5 porções de batata.

Passo 6

Mostre também o outro caso comum: utilidade linear, porque aí a solução costuma ser de canto (tudo em um bem).
Se U(x_1,x_2)=a x_1 + b x_2 com a,b>0, então U_{x_1}=a e U_{x_2}=b. A condição interior \dfrac{U_{x_1}}{U_{x_2}}=\dfrac{3}{2} vira \dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2}. Se \dfrac{a}{b}>\dfrac{3}{2} então a/15 > b/10 e a melhor escolha é gastar todo o orçamento em hamburgers (solução de canto): x_1 = \dfrac{50}{15}, x_2=0. Se \dfrac{a}{b}<\dfrac{3}{2} então prefere gastar tudo em batatas: x_1=0, x_2=\dfrac{50}{10}=5. Se \dfrac{a}{b}=\dfrac{3}{2} qualquer combinação na reta orçamentária é ótimo. Isso ilustra que, sem conhecer a forma da função U, não sabemos se a solução será de canto ou interna.

Passo 7

Checklist rápida para a prova (o que fazer quando a função U for dada):
  1. Verifique se U é crescente em x_1,x_2. Se sim, a restrição orçamentária será ativa: 15x_1+10x_2=50.
  2. Se U é diferenciável, escreva o Lagrangiano e derive as FOC.
  3. Use U_{x_1}/U_{x_2}=15/10 para obter uma relação entre x_1,x_2.
  4. Substitua na restrição orçamentária e resolva as equações para obter x_1,x_2.
  5. Verifique as condições de borda/cantos (por exemplo, compare utilidade por dólar: U_{x_1}/p_1 vs U_{x_2}/p_2) para garantir que a solução interna é realmente melhor que os cantos.
  6. Faça uma checagem rápida dos sinais e da viabilidade ( x_i\ge0).

Passo 8

Mensagem final de incentivo: você fez bem em pedir a resolução passo a passo — esse é exatamente o procedimento que funciona em provas. Quando tiver a expressão concreta da satisfação U(x_1,x_2), traga-a que eu resolvo os cálculos numéricos com você, passo a passo, do jeitinho acima (sem pular etapas).

Resposta

Não é possível determinar os valores ótimos de x_1 e x_2 porque a função de satisfação U(x_1,x_2) não foi fornecida.

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