Antônio tem
50,00
$15,00
$ 10,00
x_{1}
x_{2}$ porções de batata frita é medida por uma função
Quanto de cada tipo de comida deveria ser comprado para maximizar a satisfação de Antônio (supondo que possam ser adquiridas quantidades fracionárias de cada comida)?
Quanto de cada tipo de comida deveria ser comprado para maximizar a satisfação de Antônio (supondo que possam ser adquiridas quantidades fracionárias de cada comida)?
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Orçamento de Antônio:
, que vou representar por . - Preço do hamburger:
, que vou representar por . - Preço da porção de batata frita:
, que vou representar por . - Variáveis de decisão:
= quantidade (possivelmente fracionária) de hamburgers; = quantidade (possivelmente fracionária) de porções de batata frita. - Restrições:
, e o gasto não pode ultrapassar o orçamento, isto é
- O que é pedido: “Quanto de cada tipo de comida deveria ser comprado para maximizar a satisfação de Antônio (supondo quantidades fracionárias permitidas)?”
Importante: o enunciado diz que a satisfação é medida por “uma função”, mas essa função não foi fornecida no texto que você me enviou. Ou seja, falta a expressão matemática da função de satisfação
.
Passo 2
Conclusão imediata sobre a possibilidade de resolver numericamente: sem a expressão concreta da função de satisfação
não é possível determinar os valores numéricos ótimos de
e
. A função de utilidade diz como Antônio valoriza combinações de hamburgers e batatas; diferentes formas de
geram soluções diferentes (p.ex. soluções de canto ou combinações internas). Por isso, não dá para calcular a resposta numérica final sem essa informação.
Passo 3
Mesmo sem resolver numericamente, vou ensinar passo a passo o método que você usaria na prova assim que tiver a função
. A ideia geral é formular um problema de otimização contínua com restrição orçamentária:
Como se permite quantidades fracionárias, tratamos
como variáveis reais não-negativas. Em economia/otimização, normalmente a solução ótima ocorre com a restrição de orçamento ativa (igualdade) se
for crescente em cada bem (ou seja, mais do bem aumenta utilidade). Então presumimos que, na maior parte dos casos, a condição ativa será
Passo 4
Método padrão — multiplicadores de Lagrange. Vou explicar a técnica e cada elemento devagar, para você aplicar na prova.
- Escrevemos o Lagrangiano:
Aqui
é o multiplicador de Lagrange associado à restrição orçamentária. Intuição:
representa a taxa marginal com que o valor ótimo da função objetivo aumentaria se o orçamento aumentasse um pouco.
- Condições de primeira ordem (FOC), assumindo interior (
) e função diferenciável:
Isto é,
- Eliminando
das duas primeiras equações obtemos a condição familiar:
Isto significa que, no ótimo interior, a taxa marginal de substituição (TMS) entre hamburgers e batatas — ou seja, quanto de batata ele está disposto a trocar por um hamburger mantendo a mesma utilidade — deve igualar a razão dos preços. Em palavras simples: a “vontade marginal de trocar” entre os bens = “custo relativo” entre os bens.
Passo 5
Como isso fica prático na hora da prova? Vou dar um exemplo concreto bem comum (Cobb–Douglas) e resolver passo a passo para mostrar o tipo de conta que você faria.
Exemplo: suponha que a utilidade seja
com
. (Isso é um exemplo — só resolver se a sua prova der exatamente essa função.)
- Calcule as derivadas parciais:
- Use a condição de razão:
Logo
- Junte com a restrição orçamentária
. Substitua em função de e resolva para , depois calcule . São contas diretas e levam a uma solução única positiva (desde que ).
Exemplo numérico simples: se
, então
.
- A razão dá
, então . - Orçamento:
. - Logo
. - E
.
Portanto, nesse exemplo hipotético, a solução ótima é
hamburgers e
porções de batata.
Passo 6
Mostre também o outro caso comum: utilidade linear, porque aí a solução costuma ser de canto (tudo em um bem).
Se
com
, então
e
. A condição interior
vira
. Se
então
e a melhor escolha é gastar todo o orçamento em hamburgers (solução de canto):
,
. Se
então prefere gastar tudo em batatas:
,
. Se
qualquer combinação na reta orçamentária é ótimo. Isso ilustra que, sem conhecer a forma da função
, não sabemos se a solução será de canto ou interna.
Passo 7
Checklist rápida para a prova (o que fazer quando a função
for dada):
- Verifique se
é crescente em . Se sim, a restrição orçamentária será ativa: . - Se
é diferenciável, escreva o Lagrangiano e derive as FOC. - Use
para obter uma relação entre . - Substitua na restrição orçamentária e resolva as equações para obter
. - Verifique as condições de borda/cantos (por exemplo, compare utilidade por dólar:
vs ) para garantir que a solução interna é realmente melhor que os cantos. - Faça uma checagem rápida dos sinais e da viabilidade (
).
Passo 8
Mensagem final de incentivo: você fez bem em pedir a resolução passo a passo — esse é exatamente o procedimento que funciona em provas. Quando tiver a expressão concreta da satisfação
, traga-a que eu resolvo os cálculos numéricos com você, passo a passo, do jeitinho acima (sem pular etapas).
Resposta
Não é possível determinar os valores ótimos de
e
porque a função de satisfação
não foi fornecida.