(2,5 pontos) Determine o volume do sólido que está acima do cone
e abaixo da esfera
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está acima do cone
e abaixo da esfera
. Informações dadas que vamos usar:
O objetivo é achar o volume da região comum a essas duas superfícies, isto é, os pontos que satisfazem simultaneousemente estar acima do cone e estar no interior da esfera, sendo a esfera a “tampa” superior da região.
Passo 2
Por simetria em torno do eixo
e pela presença de
, é natural usar coordenadas cilíndricas
, onde
No sistema cilíndrico o elemento de volume é
Vou reescrever as superfícies em termos de
e
:
Passo 3
Precisamos saber a região radial em que a cone está dentro da esfera — ou seja, onde há interseção lateral — para determinar o limite em
. Então faço a interseção substituindo
do cone na equação da esfera:
Desenvolvendo:
As constantes
em ambos os lados cancelam, sobrando
Fatorando
:
As soluções são
(o vértice) e
No ponto de interseção correspondente,
vale
Portanto a curva de interseção é o círculo de raio
ao nível
.
Passo 4
Agora definimos os limites de integração. Para cada direção
a região radial vai de
até
(pois para
o cone está fora da esfera). Em
, para um
fixo nessa faixa, o sólido está “acima do cone” (ou seja,
começa em
) e “abaixo da esfera” no sentido da superfície superior da esfera, que é
Explico por que escolhemos esta rama superior da esfera: dentro da faixa
o cone fica entre a rama inferior e a rama superior da esfera (a rama inferior é
, que para pequenos
é menor que
), então a parte do sólido que fica acima do cone e dentro da esfera vai de
até a rama superior
.
Assim os limites são:
Passo 5
Escrevo a integral do volume em coordenadas cilíndricas:
Faço a integração em
primeiro:
Integrando em
dá um fator
:
Passo 6
Divido a integral em três termos e calculo cada um separadamente:
onde usei
para simplificar a escrita.
Calculo cada integral:
-
-
-
Para
uso a substituição , então , logo . Assim
Avaliando de
a
(portanto
vai de
a
):
Passo 7
Agora substituo
. Calculo as quantidades necessárias:
Usando os resultados dos itens anteriores:
Agora reúno os três termos no integrando multiplicado por
:
Observe que
. Então
Colocando em denominador comum
:
Portanto