(2,5 pontos) Determine o volume do sólido que está acima do cone z=\frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{x^{2}+y^{2}} e abaixo da esfera (x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1).

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está acima do cone \;z=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}}\; e abaixo da esfera \;x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1\;. Informações dadas que vamos usar:
\text{cone: }\; z=\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{x^{2}+y^{2}},
\text{esfera: }\; x^{2}+y^{2}+(z-1)^{2}=1.
O objetivo é achar o volume da região comum a essas duas superfícies, isto é, os pontos que satisfazem simultaneousemente estar acima do cone e estar no interior da esfera, sendo a esfera a “tampa” superior da região.

Passo 2

Por simetria em torno do eixo z e pela presença de \sqrt{x^{2}+y^{2}}, é natural usar coordenadas cilíndricas (r,\theta,z), onde
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},\quad \theta\in[0,2\pi).
No sistema cilíndrico o elemento de volume é
dV = r\,dz\,dr\,d\theta.
Vou reescrever as superfícies em termos de r e z:
\text{cone: }\; z=\frac{\sqrt{3}}{3}r = \frac{1}{\sqrt{3}}\,r,
\text{esfera: }\; r^{2}+(z-1)^{2}=1.

Passo 3

Precisamos saber a região radial em que a cone está dentro da esfera — ou seja, onde há interseção lateral — para determinar o limite em r. Então faço a interseção substituindo z do cone na equação da esfera:
r^{2}+\Bigl(\frac{1}{\sqrt{3}}r-1\Bigr)^{2}=1.
Desenvolvendo:
r^{2}+\frac{1}{3}r^{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}r+1=1.
As constantes +1 em ambos os lados cancelam, sobrando
\frac{4}{3}r^{2}-\frac{2}{\sqrt{3}}r=0.
Fatorando r:
r\Bigl(\frac{4}{3}r-\frac{2}{\sqrt{3}}\Bigr)=0.
As soluções são r=0 (o vértice) e
r=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{4}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2}.
No ponto de interseção correspondente, z vale
z=\frac{1}{\sqrt{3}}r=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto a curva de interseção é o círculo de raio \;r=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\; ao nível z=\dfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora definimos os limites de integração. Para cada direção \theta a região radial vai de r=0 até r=\dfrac{\sqrt{3}}{2} (pois para r>\dfrac{\sqrt{3}}{2} o cone está fora da esfera). Em z, para um r fixo nessa faixa, o sólido está “acima do cone” (ou seja, z começa em z_{\text{cone}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}r) e “abaixo da esfera” no sentido da superfície superior da esfera, que é
z_{\text{esfera, superior}}=1+\sqrt{1-r^{2}}.
Explico por que escolhemos esta rama superior da esfera: dentro da faixa 0\le r\le \dfrac{\sqrt{3}}{2} o cone fica entre a rama inferior e a rama superior da esfera (a rama inferior é z=1-\sqrt{1-r^{2}}, que para pequenos r é menor que z_{\text{cone}}), então a parte do sólido que fica acima do cone e dentro da esfera vai de z_{\text{cone}} até a rama superior z=1+\sqrt{1-r^{2}}.
Assim os limites são:
\theta\in[0,2\pi],\quad r\in\Bigl[0,\frac{\sqrt{3}}{2}\Bigr],\quad z\in\Bigl[\frac{1}{\sqrt{3}}r,\;1+\sqrt{1-r^{2}}\Bigr].

Passo 5

Escrevo a integral do volume em coordenadas cilíndricas:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\int_{\frac{1}{\sqrt{3}}r}^{\,1+\sqrt{1-r^{2}}} r\,dz\,dr\,d\theta.
Faço a integração em z primeiro:
V=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} r\Bigl(1+\sqrt{1-r^{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}r\Bigr)\,dr\,d\theta.
Integrando em \theta dá um fator 2\pi:
V=2\pi\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} r\Bigl(1+\sqrt{1-r^{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}r\Bigr)\,dr.

Passo 6

Divido a integral em três termos e calculo cada um separadamente:
V=2\pi\left(\int_{0}^{a} r\,dr \;-\;\frac{1}{\sqrt{3}}\int_{0}^{a} r^{2}\,dr \;+\; \int_{0}^{a} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr\right),
onde usei a=\dfrac{\sqrt{3}}{2} para simplificar a escrita.
Calculo cada integral:
  1. \displaystyle \int_{0}^{a} r\,dr = \frac{1}{2}a^{2}.
  2. \displaystyle \int_{0}^{a} r^{2}\,dr = \frac{1}{3}a^{3}.
  3. Para \displaystyle \int_{0}^{a} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr uso a substituição u=1-r^{2}, então du=-2r\,dr, logo r\,dr=-\tfrac{1}{2}du. Assim
\int r\sqrt{1-r^{2}}\,dr = -\frac{1}{2}\int u^{1/2}\,du = -\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = -\frac{1}{3}u^{3/2}.
Avaliando de r=0 a r=a (portanto u vai de 1 a 1-a^{2}):
\int_{0}^{a} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr = -\frac{1}{3}\bigl((1-a^{2})^{3/2}-1\bigr)=\frac{1}{3}\bigl(1-(1-a^{2})^{3/2}\bigr).

Passo 7

Agora substituo a=\dfrac{\sqrt{3}}{2}. Calculo as quantidades necessárias:
a^{2}=\frac{3}{4},\qquad a^{3}=\frac{3\sqrt{3}}{8},
1-a^{2}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4},\qquad (1-a^{2})^{3/2}=\Bigl(\frac{1}{4}\Bigr)^{3/2}=\frac{1}{8}.
Usando os resultados dos itens anteriores:
\int_{0}^{a} r\,dr = \frac{1}{2}a^{2}=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{4}=\frac{3}{8},
\int_{0}^{a} r^{2}\,dr = \frac{1}{3}a^{3}=\frac{1}{3}\cdot\frac{3\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{8},
\int_{0}^{a} r\sqrt{1-r^{2}}\,dr = \frac{1}{3}\Bigl(1-\frac{1}{8}\Bigr)=\frac{1}{3}\cdot\frac{7}{8}=\frac{7}{24}.
Agora reúno os três termos no integrando multiplicado por 2\pi:
V=2\pi\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{8}+\frac{7}{24}\right).
Observe que \dfrac{1}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{8}=\dfrac{1}{8}. Então
V=2\pi\left(\frac{3}{8}-\frac{1}{8}+\frac{7}{24}\right)=2\pi\left(\frac{2}{8}+\frac{7}{24}\right).
Colocando em denominador comum 24:
\frac{2}{8}=\frac{6}{24},\qquad \frac{6}{24}+\frac{7}{24}=\frac{13}{24}.
Portanto
V=2\pi\cdot\frac{13}{24}=\frac{13\pi}{12}.

Resposta

\dfrac{13\pi}{12}

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