Nos Problemas 11-18, use o Teorema 7.2 para calcular \mathscr{L}\left\{f(t)\right\}.
f(t)=t^{2} e^{3 t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \mathscr{L}\{f(t)\} onde a função é \displaystyle f(t)=t^{2}e^{3t}.
Informações dadas: a função explicitamente é \displaystyle t^{2}e^{3t}.
O que se pede: encontrar a transformada de Laplace \mathscr{L}\{t^{2}e^{3t}\} (uma expressão em termos de s).

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (pra gente entender direitinho): para uma função g(t) definida em t\ge 0,
\mathscr{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,g(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, a gente pede que a parte real de s seja grande o suficiente para a integral convergir). Aqui e^{-st} é o núcleo da transformada e a integral mede como g(t) “projeta” sobre esse núcleo. Sempre que eu usar \mathscr{L}\{\,\cdot\,\} quero dizer essa integral.

Passo 3

Vamos lembrar duas coisas muito úteis (essas são as ideias do Teorema 7.2 que o enunciado pediu para usar):
  1. A transformada de Laplace de uma potência t^{n} (com n inteiro não-negativo) é
\mathscr{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{\,n+1}},
desde que \Re(s)>0. Aqui n! significa o fatorial de n (por exemplo 2!=2).
  1. A propriedade de deslocamento exponencial (shift): se \mathscr{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então
\mathscr{L}\{e^{a t} g(t)\}(s)=G(s-a),
ou seja, multiplicar por e^{at} desloca a transformada na variável s substituindo s por s-a. Essa propriedade é justamente a ferramenta que usamos quando aparece um e^{3t} junto com outra função.
Vou aplicar essas duas ideias ao nosso caso.

Passo 4

Primeiro calculemos a transformada de \displaystyle t^{2} (assim fica explícito de onde vem o coeficiente). Queremos
I=\int_{0}^{\infty} t^{2} e^{-s t}\,dt.
Vamos calcular por partes (integração por partes repetida). Use u=t^{2} e dv=e^{-s t}dt. Então du=2t\,dt e v=-\frac{1}{s}e^{-s t}. Assim
I=\Big[ -\frac{t^{2}}{s}e^{-s t}\Big]_{0}^{\infty} + \frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.
Agora avaliando o termo de fronteira: quando t\to\infty o fator e^{-s t} (para \Re(s)>0) domina e faz t^{2}e^{-st}\to 0; em t=0 o termo é zero também. Logo o termo de fronteira é 0. Restou
I=\frac{2}{s}\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt.
Chamemos J=\int_{0}^{\infty} t e^{-s t}\,dt. Calculamos J por partes também: com u=t, dv=e^{-s t}dt temos du=dt, v=-\frac{1}{s}e^{-s t}, então
J=\Big[-\frac{t}{s}e^{-s t}\Big]_{0}^{\infty} + \frac{1}{s}\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,dt.
O termo de fronteira é zero pelos mesmos motivos, e a integral remanescente é \int_{0}^{\infty} e^{-s t}dt=\frac{1}{s} (para \Re(s)>0). Assim
J=\frac{1}{s}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s^{2}}.
Voltando a I,
I=\frac{2}{s}\cdot\frac{1}{s^{2}}=\frac{2}{s^{3}}.
Portanto
\mathscr{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2}{s^{3}}=\frac{2!}{s^{3}},
confirmando a fórmula geral para n=2.

Passo 5

Agora aplicamos a propriedade de deslocamento exponencial. Tomando g(t)=t^{2} sabemos que \mathscr{L}\{g(t)\}(s)=\dfrac{2}{s^{3}}. Pelo deslocamento, para f(t)=t^{2}e^{3t} temos
\mathscr{L}\{t^{2}e^{3t}\}(s)=\left.\frac{2}{s^{3}}\right|_{s\mapsto s-3}=\frac{2}{(s-3)^{3}}.
É importante notar a condição de convergência: como originalmente precisávamos de \Re(s)>0 para \mathscr{L}\{t^{2}\}(s), após deslocamento a condição vira \Re(s-3)>0, ou seja \Re(s)>3. Na prática para exercícios reais usamos a condição s>3 quando s é real.

Passo 6

Resumo da ideia (pra fixar): primeiro calculei \mathscr{L}\{t^{2}\}=\dfrac{2}{s^{3}} por integração por partes; depois usei que multiplicar por e^{3t} corresponde a substituir s por s-3 na transformada, dando \dfrac{2}{(s-3)^{3}}. Região de convergência: s>3.

Resposta

\mathscr{L}\{t^{2}e^{3t}\}=\dfrac{2}{(s-3)^{3}},\; s>3

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