Um anúnció pubticitário afirma que um certo automóvel pode “parar em questão de centavos”. Qual é a força resultante realmente necessária para parar um automóvel de massa M, com velocidade inicial de v_{0}, em uma distância igual ao diâmetro de uma moeda D ?

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a força resultante necessária para parar um automóvel. Informações dadas (lista clara):
  • massa do automóvel: M (em kg);
  • velocidade inicial: v_{0} (em m/s);
  • distância disponível para parar: igual ao diâmetro de uma moeda D (em m).
    Pergunta: qual é a força resultante (magnitude) necessária para levar a velocidade de v_{0} a zero ao longo da distância D?

Passo 2

Escolha do método: vou usar cinemática básica + a segunda lei de Newton. Motivo: é um método direto e elementar — não requer cálculo avançado — e dá a mesma resposta que o método da energia (que eu vou mostrar depois como conferência). Isso é prático para uma prova: usar a relação entre velocidade, aceleração e deslocamento e depois aplicar F=ma.

Passo 3

Apresentando a fórmula de cinemática que vamos usar e explicando suas variáveis:
v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s
onde:
  • v é a velocidade final (m/s);
  • v_{0} é a velocidade inicial (m/s);
  • a é a aceleração (m/s^{2}), que pode ser negativa (desaceleração);
  • s é o deslocamento na direção do movimento (m).
Breve derivação (opcional, mas didático): com aceleração constante temos \,v = v_{0} + a t\, e \,s = v_{0}t + \tfrac{1}{2}a t^{2}\,. Eliminando t entre essas duas equações obtém-se a relação acima.

Passo 4

Aplicamos a fórmula com velocidade final nula ( v=0) e deslocamento s=D. Substituindo:
0 = v_{0}^{2} + 2 a D.
Isolando a:
a = -\,\frac{v_{0}^{2}}{2D}.
Interpretação: a aceleração é negativa (é uma desaceleração). O valor absoluto da aceleração necessária é \dfrac{v_{0}^{2}}{2D}.

Passo 5

Agora aplicamos a segunda lei de Newton para obter a força resultante:
F_{\text{res}} = M a,
onde F_{\text{res}} é a força resultante (em N) e M é a massa (em kg). Substituindo a da etapa anterior:
F_{\text{res}} = M \left(-\,\frac{v_{0}^{2}}{2D}\right).
Como normalmente queremos a magnitude da força de frenagem, tomamos o valor absoluto:
|F_{\text{res}}| = \frac{M v_{0}^{2}}{2D}.

Passo 6

Verificação por energia (confere com o resultado acima): o trabalho da força resultante na distância D deve igualar a variação da energia cinética. Energia cinética inicial é \tfrac{1}{2}M v_{0}^{2} e final é zero, logo o trabalho (módulo) é \tfrac{1}{2}M v_{0}^{2}. Como trabalho = força \times deslocamento, |F|D = \tfrac{1}{2}M v_{0}^{2}, daí |F| = \dfrac{M v_{0}^{2}}{2D}. Resultado igual — ótimo.

Passo 7

Interpretação prática (para você sentir o tamanho do número): suponha M=1000\\ \text{kg}, v_{0}=20\\ \text{m/s} (≈72 km/h) e D=0,02\\ \text{m} (2 cm). Então
|F|=\frac{1000\cdot 20^{2}}{2\cdot 0{,}02}=\frac{1000\cdot 400}{0{,}04}=10\,000\,000\\ \text{N}.
Isso é da ordem de 10^{7}\\ \text{N}, ou cerca de mil vezes o peso do carro ( Mg\approx10^{4}\\ \text{N}). Conclusão prática: “parar em questão de centavos” é totalmente irrealista — exigiria forças e desacelerações enormes que destruiriam carro e ocupantes.

Passo 8

Observações finais e hipóteses feitas (importante para prova):
  • Assumi força resultante constante ao longo de D (isso facilita e é padrão em exercícios do tipo).
  • Ignorei forças adicionais (arrasto do ar, deformações não conservativas diferenciadas etc.); a conta dá uma ordem de grandeza.
  • A fórmula obtida é válida para qualquer M, v_{0}, D sob essas hipóteses.

Resposta

F = \frac{M v_{0}^{2}}{2 D}

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